Enunciado

Encontre o domínio da função:

h x = 1 ( x 2 - 5 x 4 )

Passo 1

Opa! Temos que descobrir o domínio da seguinte função:

h x = 1 x 2 - 5 x 4

Então vamos lembrar que o domónio são os valores que x pode assumir pra que a função exista.

Para resolver essa aqui, temos que saber em que condições h ( x ) não existe. A gente verifica isso olhando pra expressão e vendo o que não pode acontecer de jeito nenhum na nossa função e, com base nisso, concluímos duas coisas:

  1. x 2 - 5 x 4 não pode ser zero, ou iríamos ter uma divisão por zero, o que é algo que não existe;
  2. x 2 - 5 x tem que ser maior ou igual a zero. Isso é porque, se a raíz for par, só dá pra achar a raíz se o número for maior ou igual a zero (se ele for negativo, não existe uma raíz real!).

Passo 2

Vamos trabalhar com cada uma das condições que encontramos. Começando pela primeira, podemos escrevê-la como:

x 2 - 5 x 4 ≠ 0

Podemos elevar os dois lado à quarta potência, resultando em:

x 2 - 5 x ≠ 0

Fatorando x :

x     ( x - 5 ) ≠ 0

Para essa expressão ser verdadeira, teremos que ter x ≠ 0 ou x - 5 ≠ 0 . Ajeitando essa ultima expressão, teremos que que, no final das contas

x ≠ 0 e x ≠ 5

Passo 3

Agora teremos que trabalhar com a outra condição, que é:

x 2 - 5 x ≥ 0

Iremos fatorar o x , igual fizemos ainda agora:

x     x - 5 ≥ 0

A análise dessa condição é um pouco mais complicada, mas não vamos desistir!

A gente já viu no passo anterior que os valores que zeram essa expressão são x = 0 e x = 5 . Agora, com essas informações, vamos dividir todos os números reais em três intervalos: ( - ∞ , 0 ) , ( 0,5 ) e ( 5 , ∞ ) . A gente sempre divide os intervalos com base nas raízes do polinômio que achamos, beleza? E agora vamos usar uma tabela pra entender o comportamento em cada um deles.

No intervalo ( - ∞ , 0 ) ou x < 0 , o x será obviamente negativo. O termo ( x - 5 ) também vai ser negativo. E o produto de x ( x - 5 ) negativo com negativo fica positivo:

No intervalo ( 0   ,   5 ) ou 0 < x < 5 , o x será positivo, ( x - 5 ) vai ser negativo e o seu produto de x ( x - 5 ) negativo:

No intervalo ( 5   ,   ∞ ) ou x > 5 , tanto o x quanto o ( x - 5 ) serão positivos. Portanto, o seu produto x ( x - 5 ) vai ser positivo:

Finalmente, como queremos que a nossa expressão x x - 5 ≥ 0 seja positiva, os intervalos que nos atendem são o primeiro e o terceiro:

x ≤ 0 e x ≥ 5

Passo 4

Ta quase acabando! Para a nossa condição primeira condição, temos que:

x ≠ 0   e x ≠ 5

Para a nossa segunda condição, temos que:

x ≤ 0 e x ≥ 5

Para descobrirmos o domínio da nossa função, temos que respeitar todas essas condições que encontramos. A primeira diz que nosso x não pode ser nem 0 e nem 5 . Se tirarmos esses dois números da nossa segunda condição, teremos:

x < 0 e x > 5

Na notação de conjunto (pois o domínio é um conjunto), vamos escrever:

( - ∞ , 0 ) ∪ ( 5 , ∞ )

Em que U é a união de 2 conjuntos. Significa que o domínio compreende todos os valores reais menores que 0 e maiores que 5.

Resposta

( - ∞ , 0 ) ∪ ( 5 , ∞ )

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