Enunciado

Encontre uma expressão para a função cúbica f se f 1 = 6 e f - 1 = f ( 0 ) = f ( 2 ) = 0 .

Passo 1

Fala aí! Precisamos encontrar essa função cúbica aí, sendo que a gente tem 4 pontos por onde ela passa:

( 1,6 )

- 1,0

0,0

( 2,0 )

Quando pensamos em função cúbica, precisamos lembrar da forma geral pra toda função cúbica:

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0

Um jeito bem generalista pra resolver essa questão é substituir os 4 pontos na equação e montar um sisteminha, que pode nos dar a resposta.

MAS TEM UM JEITO BEM MAIS FÁCIL!

Se você reparar, 3 dos pontos que o enunciado dá, tem a coordenada x = 0 , ou seja, são as raízes da função. Matou?

Hmmmm... A forma fatorada da função cúbica deixa as raízes em evidência olha só:

f x = a ( x - b ) ( x - c ) ( x - d )

Nessa forma, esse a é um coeficiente, e as outras letras, b , c   e   d são as raízes da nossa função f .

Então é só você substituir essas 3 raízes e depois usar o outro ponto pra achar a . QUE MOLEZA!

Bora começar! 😉

Passo 2

Então, podemos dizer que - 1 ,   0 e 2 são as raízes de f , então a gente tem:

f x = a x - 2 x - 0 x - - 1

f x =   a   .   ( x - 2 )   .   x   .   ( x + 1 )

Show! Estamos chegando perto, só falta a gente descobrir quem é esse a !

Agora usando a outra informação do enunciado, que f 1 = 6 , podemos descobrir o valor de a , vamos achar então:

f 1 = a   .   1 - 2   .   1   .   1 + 1 = 6

a   .   - 1   .   2   =   6

- 2   .   a   =   6

a =   - 6 2

a =   - 3

Passo 3

Pronto! Nossa equação vai ser então:

f x =   - 3   .   ( x - 2 )   .   x   .   ( x + 1 )

Ou distribuindo, temos:

f x =   - 3   .   ( x - 2 )   .   x   .   ( x + 1 )

f x =   ( - 3 x + 6 )   .   ( x 2 + x )

f x =   - 3 x 3 + 3 x 2 + 6 x

Encontramos nossa função do terceiro grau! Arrasamos!

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

f x =   - 3 x 3 + 3 x 2 + 6 x

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