Enunciado

Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas

45-

Hipérbole, focos ( 1,3 ) e ( 7,3 ) , vértices ( 2,3 ) e ( 6,3 )

Passo 1

Pelos focos estarem nesses pontos, nós saberemos que o seu centro estará em:

x 0 , y 0 = 1 + 7 2 , 3 = ( 4,3 )

Pois é o centro é o ponto médio entre os focos.

E o valor de c então vale:

( 4 ± c , 3 )

Ou seja:

4 + c = 7

4 - c = 1

c = 3

Passo 2

Os vértices nos dizem primeiramente que a hipérbole é horizontal, pelos focos e vértices estarem na reta de y = 3 . Tendo então uma equação de:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

Onde o valor de a será calculado por:

4 + a = 6

4 - a = 2

a = 2

Passo 3

Logo b valerá:

c 2 = a 2 + b 2

Substituindo o que encontramos temos:

3 2 = 2 2 + b 2 → b 2 = 5

O que nos deixa então com a seguinte equação:

x - 4 2 4 - y - 3 2 5 = 1

Resposta

x - 4 2 4 - y - 3 2 5 = 1

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