Enunciado

Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

37. Elipse, focos 0 , ± 5 ,   vértices ( 0 , ± 13 )

Passo 1

Opa, aqui a gente quer encontrar uma equação pra uma elipse com focos 0 , ± 5 ,   vértices ( 0 , ± 13 ) .

Pra isso vamos lembrar que elipses tem equações no formato:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Passo 2

Note que essa é uma elipse com eixo maior no eixo Y , podemos ver isso pelas coordenadas do vértice, que mudam apenas em y .

Onde, b é a distância do centro da elipse até um dos vértices, nesse caso temos b = 13

Podemos chamar de c a distância do centro da elipse ao foco, então teremos c = 5

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que a 2 = b 2 - c 2 , então trocando os valores, encontramos:

a 2 = b 2 - c 2

a 2 = 169 - 25 = 144

O centro da elipse fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos V 1 = 0 , - 13   e   V 2 = ( 0,13 ) , nosso centro será ( 0,0 ) . Portanto ( x 0 , y 0 ) = ( 0,0 )

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

x - 0 2 144 + y - 0 2 13 2 = 1

x 2 144 + y 2 169 = 1

Resposta

x 2 144 + y 2 169 = 1

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