Enunciado

Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

47. Hipérbole, vértices ± 3,0 , assíntotas y = ± 2 x

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus vértices e assíntotas para econtrarmos sua equação.

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1   ou y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1 , dependendo qual seu eixo. Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo Y , podemos ver isso pelas coordenadas do vértice, que mudam apenas em x , então a equação é do tipo x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos V 1 = - 3,0   e   V 2 = ( 3,0 ) , nosso centro será 0,0 . Portanto ( x 0 , y 0 ) = ( 0,0 ) .

Os vértices são V = ( x 0 ± a , y 0 ) , então sabemos que a = 3

Sabemos que as assíntotas de uma hipérbole com eixo maior em X são y = ± b a x ,

então b = 2 a

b = 6

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

x 2 9 - y 2 36 = 1

Resposta

x 2 9 - y 2 36 = 1

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Dada a parábola com equação y 2 + 8 x - 6 y = 7 , ache (a) o vértice, (b) a equação do eixo, (c) o foco e (d) a equação da diretriz. Faça um esboço da curva.
Nos exercícios de 1 a 4, (a) ache a equação da parábola tendo o foco e a diretriz dados, (b) ache o comprimento do latus rectum e (c) faça um esboço da parábola.1.Foco em ( 0 ,- 3 ) ; diretriz, y = 3
Nos exercícios de 1 a 4, (a) ache a equação da parábola tendo o foco e a diretriz dados, (b) ache o comprimento do latus rectum e (c) faça um esboço da parábola.2.Foco em ( 0 ,4 ) ; diretriz, y = - 4
Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico. 3 x 2 + 8 y = 0
Encontre uma equação da parábola. A seguir, ache o foco e a diretriz.IMAGEM DA PRABOLA