Enunciado

Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico:

9 y 2 - 4 x 2 - 36 y - 8 x = 4

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação que descreve uma hipérbole:

9 y 2 - 4 x 2 - 36 y - 8 x = 4

Queremos encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole. Mas o que são eles??

Bom... para respondermos isso temos que analisar a figura da hipérbole abaixo:

Nessa figura temos que:

  • F 1 e F 2 são os focos;
  • A 1 e A 2 são os vértices;
  • As retas pontilhadas são as assíntotas;
  • A distância do centro O a um dos focos F é dada por c ;
  • A distância do centro O a um dos vértices A é dada por a ;
  • A distância do centro O a um dos conjugados B é dada por b .

Temos também que:

c 2 = a 2 + b 2

Também sabemos que a equação geral que descreve uma hipérbole centrada na origem é dada por:

x a 2 - y b 2 = 1

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Precisamos deixar a equação dada na forma padrão da hipérbole.

Para isso, primeiro começamos somando 36 para que possamos completar quadrados depois:

9 y 2 - 4 x 2 - 36 y - 8 x + 36 = 4 + 36

Completamos primeiro para y :

9 y 2 - 4 y + 4 - 4 x 2 - 8 x = 40

9 ( y - 2 ) 2 - 4 x 2 - 8 x = 40

E agora subtraímos 4 para podermos completar para x :

9 ( y - 2 ) 2 - 4 x 2 - 8 x - 4 = 40 - 4

Primeiro fazemos fator comum novamente:

9 ( y - 2 ) 2 - 4 ( x 2 + 2 x + 1 ) = 36

E completamos:

9 ( y - 2 ) 2 - 4 ( x + 1 ) 2 = 36

Por fim, dividimos dos dois lados por 36 :

- x + 1 2 9 + y - 2 2 4 = 1

Vamos ter cuidado:

  • O negativo começando nossa equação aí quer dizer que a nossa parábola está invertida (imagine girar em 90 ° a figura mostrada no passo 1);
  • perceba que o y - 2 significa dizer que a figura está duas unidades movidas para cima.
  • Além disso, o x + 1 significa que nossa figura está movida para a esquerda em uma unidade.

Passo 3

Podemos agora calcular a e b :

a 2 = 4

a = ± 2

E

b 2 = 9

b = ± 3

E com os resultados, calcular c :

c = ± a 2 + b 2

c = ± 4 + 9

c = ± 13

Passo 4

Pela definição dos vértices de dos focos, podemos encontrar suas coordenadas, precisamos apenas tomar cuidado com os termos que estão somando ou subtraindo x e y na equação da hipérbole, pois correspondem a translações, então teremos para os vértices:

0 - 1 , ± a + 2

- 1 ,   4   e   ( - 1,0 )

E para os focos:

0 - 1 , ± c + 2

  ( - 1 ,   ± 13 + 2 )

As assíntotas serão:

y + 2 = ± a b x - 1 ∴

y + 2 = ± 4 9 x - 1

Assim, o gráfico dessa hipérbole será:

Resposta

Vértices:

- 1 ,   4   e   - 1,0

Focos:

- 1 ,   ± 13 + 2

Assíntotas:

y + 2 = ± 4 9 x - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O que é excentricidade de uma seção cônica? Como você pode classificar as seções cônicas pela excentricidade? Como a forma de uma elipse e sua excentricidade estão relacionadas?
O que é uma elipse? Quais são as equações cartesianas para elipses centradas na origem com focos em um dos eixos coordenados? Como você pode determinar os focos, vértices e diretrizes de tal elipse a
O que é uma hipérbole? Quais são as equações cartesianas para hipérboles centradas na origem com focos em um dos eixos coordenados? Como você pode determinar os focos, vértices e diretrizes de tal hip
Explique a equação P F = e * P D .
Complete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Exercícios 69-76. Encontre seus focos, vértices, centros e assíntotas (conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre também s