Enunciado

Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

46. Hipérbole, vértices - 1,2   7 , 2 ,   focos ( - 2,2 ) e ( 8 , 2 )

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus vértices e focos para econtrarmos sua equação.

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1   ou y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1 , dependendo qual seu eixo. Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo Y , podemos ver isso pelas coordenadas do foco e vértice, que mudam apenas em x , então a equação é do tipo x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos V 1 = - 1 , 2   e   V 2 = ( 7,2 ) , nosso centro será 3 , 2 . Portanto ( x 0 , y 0 ) = ( 3,2 )

Sabemos que os focos de uma hipérbole com eixo maior em X são f = ( x 0 ± c , y 0 ) ,

então 3 + c = 8 , c = 5

Os vértices são V = ( x 0 ± a , y 0 ) , então sabemos que 3 + a = 7 ,         a = 4 .

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 + b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 + b 2

25 = 16 + b 2

b 2 = 9

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

x - 3 2 16 - y - 2 2 9 = 1

Resposta

y - 1 2 25 - x + 3 2 39 = 1

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