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Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

39. Elipse, focos 0 , 2   ( 0,6 ) ,   vértices 0,0 ,   ( 0,8 )

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus focos e vértices para econtrarmos sua equação.

Bom, sabemos que é uma elipse, e elipses tem equações no formato x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 .

Note que essa é uma elipse com eixo maior no eixo Y , podemos ver isso pelas coordenadas do vértice, que mudam apenas em y .

O centro da elipse fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos V 1 = 0 , 0   e   V 2 = ( 0 , 8 ) , nosso centro será ( 0,4 ) . Portanto ( x 0 , y 0 ) = ( 0,4 )

b é a distância do centro da elipse até um dos vértices, nesse caso temos b = 4

Podemos chamar de c a distância do centro da elipse ao foco, então teremos c = 2

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que a 2 = b 2 - c 2 , então trocando os valores, encontramos:

a 2 = b 2 - c 2

a 2 = 16 - 4 = 12

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

x - 0 2 12 + y - 4 2 4 2 = 1

x 2 12 + ( y - 4 ) 2 16 = 1

Resposta

x 2 12 + ( y - 4 ) 2 16 = 1

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