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Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

48. Hipérbole, focos ( 2,0 ) e 2,8 ,   assíntotas y = 3 + 1 2 x e y = 5 - 1 2 x

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus vértices e assíntotas para econtrarmos sua equação.

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1   ou y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1 , dependendo qual seu eixo. Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo X , podemos ver isso pelas coordenadas do vértice, que mudam apenas em y , então a equação é do tipo y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus focos, como aqui temos f 1 = 2 , 0   e   f 2 = ( 2,8 ) , nosso centro será 2,4 . Portanto ( x 0 , y 0 ) = ( 2,4 ) .

Como f = ( x 0 ,   y 0 ± c ) , 4 + c = 8 , então c = 4

Sabemos através das assíntotas que y = ± a b x ,

a b = 1 2

então b = 2 a

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 + b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 + b 2

4 2 = a 2 + ( 2 a ) 2

16 = 5 a 2

a = 4 5

b = 2 a = 8 5

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

y - 4 2 16 / 5 - x - 2 2 64 / 5 = 1

5 y - 4 2 16 - 5 x - 2 2 64 = 1

Resposta

5 y - 4 2 16 - 5 x - 2 2 64 = 1

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