Enunciado

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

48. Hipérbole, focos ( 2 ,     0 ) , ( 2 ,   8 ) , assíntotas y = 3 + 1 2 x e y = 5 - 1 2 x

Passo 1

Eaee!! Tudo certinho?? Bom... o enunciado quer que encontremos a equação para uma cônica.

Para isso, ele nos dá três condições:

  1. Trata-se de uma hipérbole;
  2. Possui focos em ( 2 ,     0 ) e ( 2 ,   8 ) ;
  3. Tem assíntotas y = 3 + 1 2 x e y = 5 - 1 2 x .

Para resolvermos isso, temos que saber do que trata-se uma hipérbole.

Bom... para respondermos isso temos que analisar a figura da hipérbole abaixo:

Nessa figura temos que:

  • F 1 e F 2 são os focos;
  • A 1 e A 2 são os vértices;
  • As retas pontilhadas são as assíntotas;
  • A distância do centro O a um dos focos F é dada por c ;
  • A distância do centro O a um dos vértices A é dada por a ;
  • A distância do centro O a um dos conjugados B é dada por b .

Temos também que:

c 2 = a 2 + b 2

Também sabemos que a equação geral que descreve uma hipérbole centrada na origem é dada por:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Agora vamos aplicar esses conceitos!! 😉

Passo 2

Os focos estão na mesma reta com x = 2 , o que significa que a equação da hipérbole começará com a seguinte cara:

y 2 a 2 - ( x - 2 ) 2 b 2 = 1

Como sabemos que o centro da hipérbole foi transladado para x = 2 , precisamos organizar as equações das assíntotas de maneira a ficarem com essa condição.

Primeiro vamos organizar a assíntota:

y = 3 + 1 2 x

Subtraindo 4 nos dois lados:

y - 4 = 3 - 4 + 1 2 x

Tirando fator comum:

y - 4 = 1 2 ( x - 2 )

E agora a outra assíntota:

y = 5 - 1 2 x

Subtraindo 4 :

y - 4 = 1 - 1 2 x

Tirando fator comum:

y - 4 = - 1 2 ( x - 2 )

Concluímos então que o centro da hipérbole foi transladado para y = 4 , a equação então se torna:

( y - 4 ) 2 a 2 - ( x - 2 ) 2 b 2 = 1

Passo 3

Para calcularmos a 2 e b 2 , vamos utilizar a definição das assíntotas:

y = ± a b x

E compará-la com uma das assíntotas que calculamos, para encontrar o valor de a b :

a b = 1 2

Como ainda não temos o que precisamos, vamos buscar outra equação pelo valor dos focos para conseguirmos a 2 e b 2 .

Com o valor dos focos podemos encontrar o valor de c , basta calcularmos a distância entre eles e dividirmos por 2 :

c = 8 - 0 2 = 4

E pela equação de c :

c 2 = a 2 + b 2

Como a relação anterior nos dá:

b = 2 a

Basta substituirmos:

a 2 + ( 2 a ) 2 = 16 ∴

5 a 2 = 16 ∴

a 2 = 16 5

E elevando a relação ao quadrado:

b 2 = 4 a 2

Ao substituirmos a 2 , teremos:

b 2 = 64 5

Assim, substituindo na equação da hipérbole:

5 ( y - 4 ) 2 16 - 5 ( x - 2 ) 2 64 = 1

Resposta

5 ( y - 4 ) 2 16 - 5 ( x - 2 ) 2 64 = 1

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