Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = ln ⁡ 2 n 2 + 1 - l n ⁡ ( n 2 - 1 )

Passo 1

Galerinha, belezura?

Nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?

Então bora lá! Para determinarmos se a sequência

a n = ln ⁡ 2 n 2 + 1 - l n ⁡ ( n 2 - 1 )

converge ou diverge, podemos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito.

Daí você pode estar se perguntando: Por que isso??

Vamos relembrar que uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Sacou?

Então vamos aplicarmos isso a nossa questão. Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n 2 + 1 - l n ⁡ ( n 2 - 1 )

Passo 2

Vamos chamar de L o limite e resolvê-lo!

L = lim n → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 2 n 2 + 1 - ln ⁡ n 2 - 1 ]

Se você reparar, aqui temos uma subtração de duas funções de logaritmo. Para simplificar a expressão e ficar mais fácil de avaliar o limite, podemos usar a regra da diferenciação de logaritmos.

A regra da diferença de logaritmos diz que ln ⁡ a b   pode ser escrito como ln ⁡ a - ln ⁡ b , e vice-versa. Assim,

[ ln ⁡ 2 n 2 + 1 - ln ⁡ n 2 - 1 = ln ⁡ 2 n 2 + 1 n 2 - 1  

Ou seja,

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n 2 + 1 n 2 - 1

Show de bola?!

Passo 3

Agora vamos colocar em evidência n 2 tanto no denominador quanto no numerador. Com isso, temos:

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + 1 / n 2 1 - 1 / n 2

Epa! Explica melhor isso aí!!

Calmaa! Ao colocarmos n 2   em evidência tanto no numerador quanto no denominador, estamos isolando o termo que cresce mais rapidamente à medida que n   aumenta, pois n 2 cresce mais rapidamente do que n , quando n   tende ao infinito.

Então, ao escrever a expressão como 2 + 1 / n 2 1 - 1 / n 2 , estamos essencialmente dividindo todos os termos pelo termo dominante   n 2 , o que simplifica a expressão e torna mais fácil visualizarmos o comportamento da função quando n tende ao infinito. Sacou?

Passo 4

Aplicando o limite, temos:

L = ln ⁡ 2 + 0 1 - 0

L = ln ⁡ 2

Logo, a série converge para ln ⁡ ( 2 ) !

Resposta

A série converge para l n ⁡ ( 2 ) !

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