Enunciado

Em uma reação química elementar, as moléculas únicas de dois reagentes A e B formam a molécula do produto C   : A + B → C . A lei de ação das massas afirma que a taxa de reação é proporcional ao produto das concentrações de A e B :

d C d t = k A B

Então, se as concentrações iniciais forem A = a   m o l s / L e B = b   m o l s / L e escrevermos x = [ C ] , então teremos

d x d t = k a - x b - x

(a) Assumindo que a ≠ b , encontre x como uma função de t . Use o fato de que a concentração inicial de C é 0 .

(b) Encontre x ( t ) assumindo que a = b . Como essa expressão para x ( t ) é simplificada se soubermos que C = 1 2   a depois de 20 segundos?

Passo 1

Bom, pessoal, o contexto da nossa questão é de reações químicas, mas você não precisa ter nenhum conhecimento específico sobre isso pra resolver a questão. Quer ver?

(a) Aqui a gente precisa encontrar x como função de t , mas como fazer isso? Bom, ele nos deu uma equação diferencial envolvendo justamente x e t , então se a gente conseguir resolver ela, teremos a nossa resposta!

Passo 2

Show! Vamos resolver a equação diferencial. E note que ela é separável, então facilita bastante as coisas:

d x d t = k a - x b - x

1 a - x b - x   d x = k   d t

∫ 1 a - x b - x   d x = ∫ k   d t + K

Agora, como resolver a integral da esquerda? Confira no próximo passo!

Passo 3

Que tal tentar o método das frações parciais?

Aqui a gente usa uma informação importante que o item (a) nos deu: a ≠ b   . Isso significa que os fatores a - x e ( b - x ) são diferentes, então nossa decomposição vai ficar assim:

1 a - x b - x = C a - x + D b - x   ,

sendo C e D constantes que vamos descobrir agora:

1 a - x b - x = C b - x + D a - x a - x b - x

1 = C b - C x + D a - D x

0 x + 1 = - C - D x + C b + D a

Daí, tiramos o seguinte sistema de equações:

- C - D = 0 C b + D a = 1

Lembrando que queremos achar C e D (não a ou b , pois a e b já são constantes dadas pelo enunciado) chegamos a:

C = - 1 a - b       e       D = 1 a - b

Passo 4

Show! Agora a gente volta às nossas integrais:

∫ 1 a - x b - x   d x = ∫ k   d t + K

∫ C a - x + D b - x d x = k t + K

C ∫ 1 a - x   d x + D ∫ 1 b - x   d x = k t + K

- C ln ⁡ a - x - D ln ⁡ b - x = k t + K

1 a - b ln ⁡ a - x - 1 a - b ln ⁡ b - x = k t + K

Usando agora algumas propriedades de logaritmo:

1 a - b ln ⁡ a - x b - x = k t + K

ln ⁡ a - x b - x = a - b k t + K

a - x b - x = e a - b k t + K

a - x b - x = K e a - b k t

Passo 5

Beleza! Agora a gente usa o fato de que a concentração inicial x 0 = 0 pra achar nossa constante K :

a - 0 b - 0 = K e a - b k .   0

a b = K .   1

K = a b

Show! A gente substitui o valor de K na equação e dá uma ajeitada pra isolar nosso x :

a - x b - x = a b   e a - b k t

b a - x = b - x a   e a - b k t

a b - b x = a b   e a - b k t - a x   e a - b k t

NÃO DORME! EU JURO QUE TÁ ACABANDO O ITEM (A)!

a b - a b   e a - b k t = x b - a   e a - b k t

x ( t ) =   a b ( 1 - e a - b k t ) b - a   e a - b k t

Passo 6

(b) A diferença aqui vai ser que consideraremos a = b . Aí muitos de nós somos levados a pensar que é só substituir a = b na solução final do item anterior e pronto! Mas não! Isso nos faria chegar a um valor absurdo, com denominador nulo, o que não é permitido aqui pois estamos trabalhando com frações, não com limites de frações.

Mas que coisa né? Então onde tá o erro desse raciocínio?

Bom, lá no P a s s o   3 , a gente usou a decomposição por frações parciais, que é diferente nos casos:

1 a - x b - x     e     1 a - x 2

Para nossa alegria, uma substituição já resolve o nosso novo caso, faremos:

u = a - x ,       d u = - d x

Mãos à obra!

∫ 1 a - x b - x   d x = ∫ k   d t + K

∫ 1 a - x 2   d x = k t + K

∫ - 1 u 2   d u = k t + K

1 u = k t + K

1 a - x = k t + K

Usando o fato de que x 0 = 0 , temos:

1 a - 0 = k . 0 + K

K = 1 a

Então a gente substitui K e isola o x :

1 a - x = k t + 1 a

a = a k t a - x + a - x

a = a 2 k t - a k t x + a - x

x 1 + a k t = a 2 k t

x t = a 2 k t 1 + a k t

Passo 7

Ficou bem feinha a nossa expressão de x ( t ) , mas o enunciado nos disse que C = x = 1 2   a quando t = 20 e isso pode nos ajudar a simplificar:

x 20 = a 2 k . 20 1 + a k . 20 = 1 2   a

a k .   20 .   2 = 1 + 20 a k

40 a k = 1 + 20 a k

a k = 1 20

Jogando isso na nossa expressão:

x t = a 1 20 t 1 + 1 20 t = a t t + 20

Tá melhozim agora né?

Resposta

(a) x ( t ) =   a b ( 1 - e a - b k t ) b - a   e a - b k t

(b)   x t = a 2 k t 1 + a k t

          x t = a t t + 20

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.13. x c o s x = 2 y + e 3 y y ' y 0 = 0
Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.11. d y d x = y 2 + 1y 1 = 0
Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.17. y ' t g x = a + y y π 3 = a 0xπ / 2
Resolva a equação diferencial.4 - y ' = y 2 s e n x
Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.12. d y d x = y c o s x 1 + y 2y 0 = 1