Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Quando uma gota de chuva cai, ela aumenta de tamanho; assim, sua massa em um instante t , é uma função de t   ,   m t . A taxa do aumento da massa é k m t para alguma constante positiva k . Quando aplicamos a Lei do Movimento de Newton à gota de chuva, obtemos m v ' = g m   , onde v é a velocidade da gota de chuva (dirigida para baixo) e g é a aceleração da gravidade. A velocidade terminal da gota de chuva é lim t → ∞ ⁡ v t   . Encontre uma expressão para a velocidade terminal em termos de g e k .

Passo 1

Bom, pessoal, nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade terminal. Mas, como informado pelo próprio enunciado, essa velocidade terminal é lim t → ∞ ⁡ v t   , ou seja precisamos primeiro achar quem é v t , pra depois calcular esse limite.

O enunciado nos deu algumas informações envolvendo derivadas, falou em “taxa”, então é bem provável que a gente vai ter que montar uma equação diferencial pra achar v t ao resolvê-la, beleza?

Passo 2

Primeiro olha pra essa equação:

m v ' = g m

Vamos aplicar a regra de derivada do produto no lado esquerdo?

d m d t v + m d v d t = g m

Agora, observe que o enunciado nos contou que a taxa de aumento da massa é k m t , e essa taxa é justamente d m d t , né?

k m t v + m t d v d t = g m t

Que beleza! Simplificamos a nossa vida cortando a massa:

k v + d v d t = g

Passo 3

No passo anterior, chegamos a uma equação diferenciável, e ela ainda é separável, quer ver?

d v d t = g - k v

d v d t = k g k - v

1 g k - v   d v = k   d t

Agora é só integrar cada lado:

∫ 1 g k - v   d v = ∫ k   d t + C

- ln ⁡ g k - v = k t + C

g k - v = e - k t + C

g k - v = C e - k t

Quando uma gota de chuva começa a cair, a velocidade inicial dela é nula, certo? Então a gente assume que v 0 = 0 pra achar a constante C :

g k - 0 = C e - k   .   0

C = g k

Pronto! Já temos o que precisamos:

g k - v = g k e - k t

v ( t ) = g k 1 - e - k t

Passo 4

Show! Agora vamos calcular o limite pra descobrir a velocidade terminal, beleza?

lim t → ∞ ⁡ v t = lim t → ∞ ⁡ g k 1 - e - k t = g k 1 - 0 = g k

Resposta

g k

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravita
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y   , &nb
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x   usando a muda
Um pequeno país tem $   10 bilhões em papel-moeda em circulação e