Enunciado

Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sanguínea a uma taxa constante r . À medida que a glicose é adicionada, ela é convertida em outras substâancias e removida da corrente sanguínea a uma taxa que é proporcional à concentração naquele instante. Então, um modelo para a concentração C = C t da solução de glicose na corrente sanguínea é

d C d t = r - k C

onde k é uma constante positiva.

(a) Suponha que a concentração no instante t = 0 é C 0 . Determine a concentração em um instante qualquer t , resolvendo a equação diferencial.

(b) Assumindo que C 0 < r k   , calcule lim t → ∞ ⁡ C t e interprete sua resposta.

Passo 1

(a) Ei, pessoal! Aqui a gente precisa determinar a concentração em um instante qualquer, e pra isso, temos que resolver a equação diferencial:

d C d t = r - k C

Repara que ela é separável, pois r e k são apenas constantes

1 r - k C   d C = 1   d t

Então integra cada lado, beleza?

∫ 1 r - k C   d C = ∫ 1   d t + K

Usando a substituição U = r - k C ,     d U = - k   d C , resolvemos a primeira integral:

∫ - 1 k   1 U   d U = t + K

- 1 k ln ⁡ U = t + K

ln ⁡ U = - k t + K

U = e - k t + K

r - k C = K e - k t

Mas temos que C 0 = C 0   :

r - k C 0 = K e - k .   0

K = r - k C 0

Então chegamos a isso, galera:

r - k C = r - k C 0   e - k t

C t = r k + C 0 - r k e - k t  

Passo 2

(b) Aqui a gente só precisa calcular esse limite:

lim t → ∞ ⁡ C ( t ) = lim t → ∞ ⁡ r k + C 0 - r k e - k t = r k + C 0 - r k .   0 = r k

Sabe o significado desse limite? Quando temos C 0 < r k   , quanto mais o tempo passa, mais a concentração de glicose se aproxima do valor   r k     ,   tá beleza?

Resposta

(a) C t = r k + C 0 - r k e - k t  

(b) r k

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Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.15. d u d t = ( 2 t + sec 2 ⁡ t ) 2 u u 0 = - 5
Resolva a equação diferencial.3 - x 2 + 1 y ' = x y
Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.14. d P d t = P t P 1 = 2
Resolva a equação diferencial.9. d u d t = 2 + 2 u + t + t u