Enunciado

Encontre a equação do plano normal e do plano osculador para a curva dada pelo ponto.

x = s e n ⁡ 2 t ,   y = - cos ⁡ 2 t , z = 4 t ;     ( 0,1 , 2 π )

Passo 1

Um vetor normal ao plano normal é dado por:

T → t = r → ' ( t ) r → ' ( t )

A equação do plano normal pode ser calculado por:

T x t x - x 0 + T y t y - y 0 + T z t z - z 0 = 0

Um vetor binormal é dado por:

B → t = N → t × T → t

A equação do plano osculador é dada por:

B x t x - x 0 + B y t y - y 0 + B z t z - z 0 = 0

Passo 2

Para determinarmos a equação de um plano precisamos do vetor normal a este plano.

O ponto que queremos utilizar é: ( 0,1 , 2 π ) . O parâmetro t associado a este ponto é t = π 2 , para verificarmos isso basta substituir t em x ,   y   e   z .

Passo 3

Para esta curva temos que:

r → t = s e n ⁡ 2 t , - cos ⁡ 2 t , 4 t

A derivara de r → t é:

r → ' ( t ) = 2 cos ⁡ 2 t , 2 s e n ⁡ 2 t , 4

Então: T → t = r → ' ( t ) r → ' ( t ) = 2 cos ⁡ 2 t , 2 s e n ⁡ 2 t , 4 4 cos 2 ⁡ 2 t + 4 s e n ² ⁡ 2 t + 16 = 2 cos ⁡ 2 t , 2 s e n ⁡ 2 t , 4 20

Aqui podemos utilizar T → t sem a constante que esta multiplicando o vetor, pois este continua tendo a mesma direção e é isso que importa para encontrar a equação de um plano.

Portanto a equação do plano é dada por:

T x t x - x 0 + T y t y - y 0 + T z t z - z 0 = 0

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) corresponde ao ponto ( 0,1 , 2 π ) .

E T → π 2 = 1 20 - 2,0 , 4

Então a equação do plano normal é:

- 2 x - 0 + 0 y - 1 + 4 z - 2 π = 0

- 2 x + 4 z - 8 π = 0

- x + 2 z = 4 π

Passo 4

Para obter o vetor que nos de a equação do plano osculador fazemos:

N → t = T → ' t | T → ' t |

A derivada de T → ( t ) é:

T → ' t = 1 20 - 4 s e n ⁡ 2 t , 4 cos ⁡ 2 t , 0  

Então:

N → t = 1 20 - 4 s e n ⁡ 2 t , 4 cos ⁡ 2 t , 0 16 s e n ² ⁡ 2 t + 16 cos 2 ⁡ 2 t = 1 20 - 4 s e n ⁡ 2 t , 4 cos ⁡ 2 t , 0 16 = 1 4 20 - 4 sin ⁡ 2 t , 4 cos ⁡ 2 t , 0

Aplicando t = π 2 :

N → π 2 = 1 4 20 0,4 , 0

Mas esse vetor esta na mesma direção do vetor normal ao plano normal e queremos um vetor perpendicular, então fazemos:

B → t = N → t × T → t = 1 4 20 0,4 , 0 × 1 20 - 2,0 , 4 = 1 80 16,0 , 8

Portanto a equação do plano é dada por:

B x t x - x 0 + B y t y - y 0 + B z t z - z 0 = 0

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) corresponde ao ponto ( 0,1 , 2 π ) .

Então a equação do plano osculador é:

16 x - 0 + 0 y - 1 + 8 z - 2 π = 0

16 x + 8 z - 16 π = 0

2 x + z = 2 π

Resposta

Plano normal: - x + 2 z = 4 π

Plano osculador:

2 x + z = 2 π

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