Enunciado

Mostre que a curva com equações paramétricas

x = s e n   t   ,           y = cos ⁡ t   ,           z = s e n 2   t

é a curva de intersecção das superfícies z = x 2 e x 2 + y 2 = 1 . Use esse fato para esboçar a curva.

Passo 1

Beleza, galera? Pra provar que a curva é de fato a intersecção das duas superfícies, vamos tentar chegar nas equações das duas superfícies a partir das equações paramétricas da curva:

x 2 = s e n 2   t = z

x 2 + y 2 = s e n 2   t + cos 2 ⁡ t = 1

Então, como queríamos, chegamos nas equações das duas superfícies:

x 2 = z

x 2 + y 2 = 1

Passo 2

Show! Agora, pra esboçar a curva, vamos desenhar as duas superfícies: a intersecção entre elas vai ser a nossa curva, beleza?

Pra você enxergar melhor:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.(b) Encontre r’(t)(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t. r t = e 2 t i + e t j, t = 0
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = x e x
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) . (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = t ,3 cos ⁡ t ,3 sen ⁡ t
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) . (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = 2 t ,e t , e - t
Utilize o teorema 10 para encontrar a curvatura. r t = t 3 j + t 2 k