Enunciado

Mostre que a curva com equações paramétricas

x = t cos ⁡ t   ,           y = t   s e n   t   ,           z = t

está no cone z 2 = x 2 + y 2 , e use esse fato para esboçar a curva.

Passo 1

Bom, pessoal. Pra provar que a curva está de fato no cone, vamos tentar chegar na equação do cone a partir das equações paramétricas da curva:

x 2 + y 2 = t cos ⁡ t 2 + t   s e n   t 2 = t 2 cos 2 ⁡ t + s e n 2   t = t 2 = z 2

Então, como queríamos, chegamos na equação do cone:

x 2 + y 2 = z 2

Passo 2

Show! Pela equação do cone, sabemos que a curva está contida num cone circular cujo eixo é o eixo z . E olhando pra equação paramétrica z = t , acabamos de concluir que essa curva deve ser uma espiral, olha só:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Desenhe as projeções da curva nos três planos coordenados. Use essas projeções para ajudá-lo a esboçar a curva. r t = t , t ,t ² ²
Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I-VI). Justifique sua escolha. x = cos ⁡ t, y = s e n t , z = c o s 2 t
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies. z = x 2 - y 2 x 2 + y 2 = 1
Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I-VI). Justifique sua escolha. x = cos ⁡ 8 t, y = s e n 8 t , z = e 0,8 t , t ≥ 0
Faça uma correspondência entre as equações paramétricas e os gráficos (identificados com números de I-VI). Justifique sua escolha. x = t , y = 1 1 + t 2 , z = t 2