Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 50
Encontre a equação do plano normal e do plano osculador para a curva dada pelo ponto.
Passo 1
Um vetor normal ao plano normal é dado por:
A equação do plano normal pode ser calculado por:
Um vetor binormal é dado por:
A equação do plano osculador é dada por:
Passo 2
Para determinarmos a equação de um plano precisamos do vetor normal a este plano.
O ponto que queremos utilizar é: . O parâmetro associado a este ponto é , para verificarmos isso basta substituir em .
Passo 3
Para esta curva temos que:
Um vetor normal ao plano normal é dado por:
A derivara de é:
Então:
Aqui podemos utilizar sem a constante que esta multiplicando o vetor, pois este continua tendo a mesma direção e é isso que importa para encontrar a equação de um plano.
Portanto a equação do plano é dada por:
Onde corresponde ao ponto .
Então a equação do plano normal é:
Passo 4
Para obter o vetor que nos de a equação do plano osculador fazemos:
A derivada de é:
Então:
Mas esse vetor esta na mesma direção do vetor normal ao plano normal e queremos um vetor perpendicular, então fazemos:
Portanto a equação do plano é dada por:
Onde corresponde ao ponto .
Então a equação do plano osculador é:
Resposta
Plano normal:
Plano osculador: