Enunciado

Encontre a equação do plano normal e do plano osculador para a curva dada pelo ponto.

x = ln ⁡ t ,   y = 2 t , z = t ² ;     ( 0,2 , 1 )

Passo 1

Um vetor normal ao plano normal é dado por:

T → t = r → ' ( t ) r → ' ( t )

A equação do plano normal pode ser calculado por:

T x t x - x 0 + T y t y - y 0 + T z t z - z 0 = 0

Um vetor binormal é dado por:

B → t = N → t × T → t

A equação do plano osculador é dada por:

B x t x - x 0 + B y t y - y 0 + B z t z - z 0 = 0

Passo 2

Para determinarmos a equação de um plano precisamos do vetor normal a este plano.

O ponto que queremos utilizar é: ( 0,2 , 1 ) . O parâmetro t associado a este ponto é t = 1 , para verificarmos isso basta substituir t em x ,   y   e   z .

Passo 3

Para esta curva temos que:

r → t = ln ⁡ t , 2 t , t ²

Um vetor normal ao plano normal é dado por:

T → t = r → ' ( t ) r → ' ( t )

A derivara de r → t é:

r → ' ( t ) = 1 t , 2 ,   2 t

Então: T → t = r → ' ( t ) r → ' ( t ) = 1 t , 2,2 t 1 t 2 + 4 + 4 t ²

T → 1 = 1 t , 2,2 t 1 t 2 + 4 + 4 t ² = 1 3 1,2 , 2

Aqui podemos utilizar T → t sem a constante que esta multiplicando o vetor, pois este continua tendo a mesma direção e é isso que importa para encontrar a equação de um plano.

Portanto a equação do plano é dada por:

T x t x - x 0 + T y t y - y 0 + T z t z - z 0 = 0

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) corresponde ao ponto ( 0,2 , 1 ) .

Então a equação do plano normal é:

1 x - 0 + 2 y - 2 + 2 z - 1 = 0

x + 2 y - 4 + 2 z - 2 = 0

x + 2 y + 2 z = 6

Passo 4

Para obter o vetor que nos de a equação do plano osculador fazemos:

N → t = T → ' t | T → ' t |

A derivada de T → ( t ) é:

T → ' t = 1 3 - 1 t 2 , 0,2  

Então:

N → t = 1 3 - 1 t 2 , 0,2 1 t 4 + 4

N → 1 = 1 3 - 1,0 , 2 5

Mas esse vetor esta na mesma direção do vetor normal ao plano normal e queremos um vetor perpendicular, então fazemos:

B → t = N → t × T → t = 1 3 5 - 1,0 , 2 × 1 3 1,2 , 2 = 1 9 5 - 4,4 , - 2

Portanto a equação do plano é dada por:

B x t x - x 0 + B y t y - y 0 + B z t z - z 0 = 0

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) corresponde ao ponto ( 0,2 , 1 ) .

Então a equação do plano osculador é:

- 4 x - 0 + 4 y - 2 - 2 z - 1 = 0

- 4 x + 4 y - 8 - 2 z + 1 = 0

- 2 x + 2 y - z = 7

Resposta

Plano normal:

x + 2 y + 2 z = 6

Plano osculador:

- 2 x + 2 y - z = 7

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