Enunciado

Trace a curva com equações paramétricas

x = 1 - 0,25 cos 2 ⁡ 10 t cos ⁡ t   ,           y = 1 - 0,25 cos 2 ⁡ 10 t s e n   t   ,           z = 0,5 cos ⁡ 10 t

Explique a aparência da curva, mostrando que ela está em uma esfera.

Passo 1

Galera, com a ajuda de um computador, vamos traçar a curva:

Realmente, a curva parece estar contida numa esfera.

Passo 2

Pra mostrar isso, vamos utilizar x , y e z das equações paramétricas e tentar chegar a:

x 2 + y 2 + z 2 = k 2

sendo k uma constante qualquer. Bora?

x 2 + y 2 + z 2 = 1 - 0,25 cos 2 ⁡ 10 t cos 2 ⁡ t + 1 - 0,25 cos 2 ⁡ 10 t   s e n 2   t + 0,5 2 cos 2 ⁡ 10 t = 1 - 0,25 cos 2 ⁡ 10 t cos 2 ⁡ t + s e n 2   t + 0,25 cos 2 ⁡ 10 t = 1 - 0,25 cos 2 ⁡ 10 t + 0,25 cos 2 ⁡ 10 t = 1

Então, acabamos de provar que a curva está contida numa esfera de raio 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Estabeleça as equações paramétricas para a reta tangente a curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela. x =
Dtermine se as curvas são lisas(a) r → t = t 3 , t 4 ,t 5 (b) r → t = t 3 + t , t 4 ,t 5 (c) r → t = cos 3 ⁡ t , s e n 3 t
As curvas r → 1 t = t , t 2 , t 3 e r → 2 t = s e nt , s e n2 t , t se encontram na origem. Determine o ângulo de interseção destas com a precisão de graus.
(a) Determine o ponto de interseção das retas tangente à curva r → t = s e nπ t ,2 s e nπ t, cos ⁡ π t No ponto t = 0 e t = 0,5 .(b) Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes.