Enunciado

Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

r → t = 2 t 2 i → + 2 3 t 3 - 2 t   j →        

Passo 1

Queremos encontrar os vetores tangencial e normal. Para isso, primeiramente vamos calcular a primeira e segunda derivada de r.

r → ' = 4 t   i → + ( 2 t 2 - 2 )   j →  

A norma desse vetor é

r → ' = 4 t 4 + 8 t 2 + 4

E a segunda derivada de r é

r → ' ' = 4   i → + 4 t   j →

Passo 2

Podemos agora encontrar o vetor aceleração tangencial da seguinte forma:

a T = r → ' ⋅ r → ' ' | r → ' |

O produto escalar entre os dois vetores nos dá:

4 t , ( 2 t 2 - 2 ) ⋅ 4,4 t = 16 t + 4 t 2 t 2 - 2 = 8 t 3 + 8 t

Dessa forma temos que a aceleração tangencial é:

a T = 8 t 3 + 8 t 4 t 4 + 8 t 2 + 4

Passo 3

Para encontrarmos a aceleração normal, temos que tomar o módulo do produto vetorial entre r → ' e r → ' ' .

Temos:

4 t , ( 2 t 2 - 2 ) × 4,4 t = i j k 4 t 2 t 2 - 2 0 4 4 t 0

Efetuando esse produto vetorial temos:

r → ' × r → ' ' = 0 i → + 0   j → + ( 8 t 2 + 8 )   k →

A norma desse vetor é dado por

r → ' × r → ' ' = 64 t 4 + 128 t 2 + 64

Dessa maneira, a aceleração normal é dada por:

a N = r → ' × r → ' ' | r → ' | = 64 t 4 + 128 t 2 + 64 4 t 4 + 8 t 2 + 4

Resposta

As componentes tangencial e normal do vetor aceleração dado são

a T = 8 t 3 + 8 t 4 t 4 + 8 t 2 + 4

a N = 64 t 4 + 128 t 2 + 64 4 t 4 + 8 t 2 + 4

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Sejam f → t = t i → + 2 t 2 j → + 3 t 3 k → e g → t = 2 t i → + j → - 3 t 2 k → ,t ≥ 0 . Calcular:(g) lim t → 0 ⁡ [ f → t × g → ( t ) ]
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(e) lim t → 0 ⁡ 2 t - 1 ti → + 2 t - 1 j → + t k →
Sejam f → t = a → t + b → t 2 e g → t = t i → + s e n ⁡ t j → + cos ⁡ t k → , com a → = i → + j → e b → = 2 i → - j → ; 0 ≤ t ≤ 2 π . Calcular:(e) f → t - 1 + g → ( t + 1 )
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(d) lim t → 1 ⁡ t - 1 t - 1i → + t - 1 j → + ( t + 1 ) k →
Mostrar que o limite do módulo de uma função vetorial é igual ao modulo do seu limite, se este último existir.