Enunciado

A figura mostra uma curva C dada pela função vetorial r t .

(a) Desenhe os vetores r 4,5 - r 4 e r 4,2 - r 4 .

(b) Esboce os vetores

r 4,5 - r 4 0,5                     e                   r 4,2 - r 4 0,2

(c) Escreva a expressão para r ' 4 e para seu vetor tangente unitário T 4 .

(d) Desenhe o vetor T 4 .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte gráfico que mostra uma curva C com os pontos P ,   Q e R com seus respectivos vetores:

Primeiramente queremos desenhar os vetores r 4,5 - r 4 e r 4,2 - r 4 .

Para isso, basta sabermos que a seta partirá do subtraendo em direção ao minuendo.

Em seguida, queremos esboçar os seguintes vetores:

r 4,5 - r 4 0,5                     e                   r 4,2 - r 4 0,2

Para isso, basta fazermos como a letra a). No entanto, a nossa seta aumentará o tamanho por conta do número que está dividindo ser menor que zero.

Na letra c) queremos encontrar a expressão para r ' 4 e para seu vetor tangente unitário T 4 .

Para isso, vamos aplicar a definição para calcular essa derivada e, em seguida, vamos encontrar seu vetor tangente unitário utilizando a seguinte relação:

T t = r ' t r ' t

Por fim, na letra d), queremos esboçar o vetor T 4 .

Passo 2

(a) Bom... Sabendo que a seta partirá do subtraendo em direção ao minuendo, vamos ter os seguintes vetores:

Onde a seta vermelha é o vetor r 4,5 - r 4 e a seta amarela é o vetor r 4,2 - r 4 .

Passo 3

(b) Também na figura, vamos esboçar os vetores correspondentes. Repara o seguinte:

r 4,5 - r 4 0,5 = 2 r 4,5 - r 4

Ou seja, vai ser aquele vetor da seta vermelha, mas aumentado em duas vezes.

Da mesma forma, teremos:

r 4,2 - r 4 0,2 = 5 r 4,2 - r 4

Ou seja, vai ser aquele vetor da seta amarela, mas aumentado em cinco vezes.

Em suma, esses vetores terão a mesma direção e sentido dos vetores do item anterior, o que muda é apenas a magnitude, o tamanho:

Onde a seta vermelha é o vetor r 4,5 - r 4 0,5 e a seta amarela é o vetor r 4,2 - r 4 0,2 .

Passo 4

(c) Por definição, temos:

r ' t = lim h → 0 ⁡   r t + h - r t h

Aplicando r ' 4 , teremos:

r ' 4 = lim h → 0 ⁡   r 4 + h - r 4 h

No passo 1, vimos que:

T t = r ' t r ' t

Para t = 4 , teremos:

T 4 = r ' 4 r ' 4

Passo 5

(d) Galera, T 4 deve ser um vetor unitário que tem a mesma direção e sentido de r ' 4 , ou seja, deve ser paralelo à reta tangente à curva em r 4 .

O desenho vai ficar assim então:

Resposta

(a)

(b)

(c)

r ' 4 = lim h → 0 ⁡   r 4 + h - r 4 h

T 4 = r ' 4 r ' 4

(d)

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