Enunciado

Determine os valores extremos de f   sujeita a ambas as restrições.

f x , y , z = z ,     x 2 + y 2 = z 2 ,       x + y + z = 24

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições, precisamos fazer:

∇ f x , y , z =   λ ∇ g x , y , z =   μ ∇ h x , y , z

No nosso caso aqui temos:

0,0 , 1 = λ 2 x , 2 y , - 2 z + μ ( 1,1 , 1 )

Beleza, daqui a gente tira que:

0 = λ 2 x + μ

0 = λ 2 y + μ

1 = - λ 2 z + μ

E precisamos que

g = x 2 + y 2 - z 2 = 0  

h = x + y + z = 24

Passo 2

Daqui 0 = λ 2 x + μ

A gente tira que μ = - 2 λ x

E da segunda, tiramos que μ = - 2 λ y

Então concluímos que - 2 λ x = - 2 λ y

E como pela última não podemos ter λ   e   μ iguais a zero (se λ for, μ também é), temos:

x = y

Beleza, a gente joga isso aqui agora:

x + y + z = 24 → x + x + z = 24 → 2 x + z = 24 → z = 24 - 2 x

x 2 + y 2 = z 2 → 2 x 2 = z 2

2 x 2 = 24 - 2 x 2

2 x 2 = 576 - 96 x + 4 x 2

2 x 2 - 96 x + 576 = 0

Isso nos dá x = 24 ± 12 2 .

E aí teremos y = 24 ± 12 2 e z =   - 24 ∓ 24 2 .

Passo 3

Vamos testar os pontos na função agora:

f 24 + 12 2 ,   24 + 12 2 , - 24 - 24 2   =   - 24 - 24 2

f 24 - 12 2 ,   24 - 12 2 , - 24 + 24 2   =   - 24 + 24 2  

Ou seja, o valor máximo é - 24 + 24 2   e o valor mínimo é - 24 - 24 2 .

Resposta

- 24 - 24 2     e     - 24 + 24 2

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14.30. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 42
Determinar a distância mínima entre o ponto (0, 1) e a curva x 2 = 4 y .
Encontrar o ponto da esfera x + y - z = 1 mais próximo do ponto (1, 1, 1).
Achar os valores extremos de z =2 x y sujeitos à condição x + y =2 .