Enunciado

Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelos pontos ( 0 , - 2,5 ) e ( - 1,3 , 1 ) e seja perpendicular ao plano 2 z = 5 x + 4 y .

Passo 1

Bom galera, a gente tem os ponto:

A = 0 , - 2,5

B = ( - 1,3 , 1 )

E um plano perpendicular escrita com a equação:

2 z = 5 x + 4 y → 5 x + 4 y - 2 z = 0

Então o vetor desse plano é:

b → = ( 5,4 , - 2 )

Passo 2

Agora, vamos encontrar um outro vetor que tenha a direção de B até A :

a → = B A = A - B

→ 0 , - 2,5 - - 1,3 , 1 = 1 , - 5,4

Logo:

a → = 1 , - 5,4

Passo 3

Pois agora, a gente encontra um vetor ortogonal aos dois que a gente assim, para isso a gente pega o produto vetorial dos dois:

v → = a → × b → = det ⁡ i → j → k → 1 - 5 4 5 4 - 2

v → = - 6 i → + 22 j → + 29 k →

Passo 4

Beleza, e a equação do plano por definição é:

v → x x - x o + v → y y - y o + v → z z - z o = 0

Se você quiser saber mais sobre essa fórmula e como ela funciona dá uma olhada nas vídeo aulas aqui mesmo do Responde Aí!

Passo 5

Show de bola, agora que a gente só aplica o que a gente tem na equação:

v → x x - x O + v → y y - y O + v → z z - z O = 0

- 6 x - ( 0 ) + 22 y - - 2 + 29 z - ( 5 ) = 0

→ - 6 x + 22 y + 44 + ( 29 z - 145 ) = 0

→ - 6 x + 22 y + 29 z - 101 = 0

→ - 6 x + 22 y + 29 z = 101

Resposta

- 6 x + 22 y + 29 z = 101

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