Enunciado

Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.

x 2 + y 2 = 2 c x

Passo 1

Primeiramente, o que é uma equação polar?

É uma substituição feita na equação cartesiana da seguinte forma:

x = r ⋅ c o s   θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Passo 2

Tratando c como uma constante qualquer, vamos substituir x e y na equação dada

x 2 + y 2 = 2 c x

Nas substituições entre coordenadas polares e cartesianaas sempre que aparece x 2 + y 2 aparecera a identidade fundamental da trigonometria:

x 2 + y 2 = r ⋅ cos ⁡ θ 2 + r ⋅ sen ⁡ θ 2

x 2 + y 2 = r 2 ⋅ cos ² ⁡ θ + r 2 ⋅ sen ² ⁡ θ

Colocando r ² em evidencia

x 2 + y 2 = r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Pela relação fundamental da trigonometria cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1 , portanto

x 2 + y 2 = r 2

Substituindo na equação

r ² = 2 c ⋅ r ⋅ cos ⁡ θ

Passo 3

Por fim, para isolar o r vamos dividí-lo em ambos os lados

r 2 r = 2 c ⋅ r ⋅ cos ⁡ θ r

r = 2 c ⋅ cos ⁡ θ

Resposta

r = 2 c ⋅ cos ⁡ θ

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Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada. r = 4 c o s 3 θ
Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada. 4 .r = 4 s e n 2 1 2 θ
7. Ache a área do gráfico da região limitada pelo gráfico de equação r = θ de θ = 0 até θ = 3 π 2 .
Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada. 5 . r 2 = 4 s e n 2 θ
Nos exercícios de 9 a 12, ache a área da região limitada por um laço do gráfico da equação dada.9. r = 3 c o s 2 θ