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Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 10.3 - Ex. 26

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Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.

x y = 4

Passo 1

Primeiramente, o que é uma equação polar?

É uma substituição feita na equação cartesiana da seguinte forma:

x = r ⋅ c o s   θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Passo 2

Substituindo na equação dada temos

r ⋅ cos ⁡ θ ⋅ r ⋅ sen ⁡ θ = 4

Distribuindo a multiplicação

r 2 ⋅ cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ = 4

Passo 3

Para isolar o r vamos dividir os dois lados por cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ

r 2 ⋅ cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ = 4 cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ

r 2 = 4 cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ

Podemos tbm substituir 1 cos ⁡ θ por sec ⁡ θ e 1 sen ⁡ θ por csc ⁡ θ  

r 2 = 4 ⋅ sec ⁡ θ ⋅ csc ⁡ θ

Aplicando a raiz quadrada dos dois lados

r =   ± 4 ⋅ sec ⁡ θ ⋅ csc ⁡ θ

Como r se trata de uma distancia, só assume valores positivos

r = 4 ⋅ sec ⁡ θ ⋅ csc ⁡ θ = 2 sec ⁡ θ ⋅ csc ⁡ θ

Resposta

r = 2 sec ⁡ θ ⋅ csc ⁡ θ

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