Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.

2 . r = 2 - s e n θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como a curva é simétrica com relação ao semi-eixo π 2 , tomamos os limites de θ de - π 2 até π 2 , o que determina a área da região limitada pela curva à direita do semi eixo π 2 . Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 2.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 2 . ( 1 2 ∫ - π 2 π 2 2 - s e n θ 2 d θ ) =

= ∫ - π 2 π 2 4 - 4 s e n θ + s e n 2 θ   d θ = 4 θ + 4 c o s θ + 1 2 θ - 1 2 s e n 2 θ - π 2 π 2

= 4 π 2 + 0 + 1 2 π 2 - 0 - - 4 π 2 + 0 + 1 2 - π 2 - 0 = 4 π + π 2 = 9 π 2

Resposta

A = 9 π 2

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