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Nos exercícios de 9 a 12, ache a área da região limitada por um laço do gráfico da equação dada.

10. r = a ( 1 - 2 c o s θ )

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como ele quer a área de um laço somente, basta fazer θ variar de 0   a t é   π 3   ; e por ser simétrico em relação ao eixo polar, basta multiplicar por 2 para encontrar o valor da área de um laço.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 2 . ( 1 2 ∫ 0 π 3 a ( 1 - 2 c o s θ ) 2 d θ ) = ∫ 0 π 3 a 2 1 - 2 c o s θ 2 d θ =

a 2 . ∫ 0 π 3 ( 1 - 4 c o s θ + 4 cos 2 ⁡ θ ) d θ = a 2 ∫ 0 π 3 1 - 4 c o s θ + 4 . 1 2 1 + c o s 2 θ d θ =

= a 2 ∫ 0 π 3 3 - 4 c o s θ + 2 c o s 2 θ d θ = a 2 3 θ - 4 s e n θ + 2 . 1 2 s e n 2 θ 0 π 3 = a 2 π - 4 3 2 + 3 2 = a 2 π - 3 3 2

Resposta

A = a 2 π - 3 3 2

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