Enunciado

a) Encontre a equação da reta tangente à curva y = sec ⁡ x - 2 cos ⁡ x no ponto π 3 , 1 .

b) Ilustre a a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tangente na mesma tela.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a a equação da reta tangente à curva

y = sec ⁡ x - 2 cos ⁡ x

No ponto π 3 , 1 .

Para isso, precisamos derivar a função para achar o coeficiente angular da reta m tangente e assim usar a equação

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde x 0 , y 0 é o ponto dado no enunciado.

Precisaremos da regra da soma/subtração, que é dada por:

f ± g = f ' ± g '

Onde f e g são duas funções diferenciáveis.

Também, vale lembrar que a derivada da secante é:

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x * tan ⁡ x

E a derivada do cosseno é:

cos ⁡ x ' = sen ⁡ x

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos primeiro derivar a função pela regra da soma:

y ' = sec ⁡ x ' - 2 cos ⁡ x ' ∴

y ' = sec ⁡ x   t g   x - - 2   s e n   x ∴

y ' = sec ⁡ x   t g   x + 2   s e n   x

Substituindo x = π / 3 :

m = sec ⁡   π 3   t g π 3 + 2   s e n π 3 ∴

m = 2 3 + 2 3 2 ∴

m = 3 3

Passo 3

Usando m = 3 3 , x 0 = π 3 e y 0 = 1 na equação da reta:

y - 1 = 3 3   x - π 3

y = 3 3 x - π 3 + 1

Passo 4

Em vermelho traçamos a curva e em azul a reta tangente:

Resposta

a)   y = 3 3 x - π 3 + 1 .

b) Esbcoço de gráfico.

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