Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 + ⁡ x x 2

Passo 1

O enunciado pede para que calculemos o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital. É importante lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / .

Passo 2

Temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Vamos usar o fato que y = e ln ⁡ y :

lim x → 0 + ⁡ x x 2 = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x x 2 = lim x → 0 + ⁡ e x 2 ln ⁡ x = e lim x → 0 + ⁡   x 2 ln ⁡ x

Assim, o que devemos realmente calular é

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 / x 2

Note que isto é uma indeterminação do tipo / e podemos usar a regra de L’Hospital!!!

Passo 3

Aplicando a regra:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 / x 2 = lim x → 0 + ⁡ 1 / x - 2 / x 3 = - 1 2 lim x → 0 + ⁡ x 2 = 0

Assim,

lim x → 0 + ⁡ x x 2 = e 0 = 1

Resposta

1 .

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Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite. lim x → - 5 ⁡ x 2 - 2 5 x + 5
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite. lim t → - 3 ⁡ t 3 - 4 t + 1 5 t 2 - t - 12
Calcule o limite usando um dos métodos estudados no Capítulo 2. lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 + 3 x x 3 + x + 1
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite. lim x → 2⁡ x - 2 x 2 - 4
Calcule o limite usando um dos métodos estudados no Capítulo 2. lim x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( x ) x 2