Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 65
Seja P um ponto na elipse com focos e e seja e os ângulos entre as retas , e a elipse, como na figura. Demonstre que . Isso explica como galerias de sussurros e litotripsia funcionam. O som vindo de um dos focos é refletido e passa pelo outro foco. [Sugestão: Use a fórmula no Problema na página , no Volume para mostrar que .]
Passo 1
Bom, galera. Nesse problema a gente tem uma elipse, e queremos provar que existe uma propriedade legal sobre alguns ângulos.
Quando ele fala “ângulo entre a reta e a elipse”, ele quer dizer o ângulo entre a reta que passa pelos pontos e e a reta tangente à elipse, cuja inclinação é a derivada nesse ponto . Então nós temos que mostrar que esse e o ângulo entre a reta e a elipse, ou seja, e
, representados na figura, são iguais, beleza?
Passo 2
Pra mostrar que os ângulos são iguais, teremos que mostrar que suas tangentes são iguais, seguindo a sugestão do enunciado. Então vamos trabalhar com as inclinações das retas, certo?
Seja a inclinação da reta tangente à elipse no ponto (derivada), a inclinação da reta e a inclinação da reta . Olhando a figura, veja que:
Agora, pra calcular , vamos derivar a equação da elipse. Não se esqueça da regra da cadeia pra derivar termos envolvendo , ok?
Para o ponto , temos:
Passo 3
Agora que temos as inclinações de cada reta, podemos usar a dica que o enunciado nos deu, presente no Problema na página , no Volume , a fórmula pra calcular a tangente do ângulo entre duas retas, se sabemos as inclinações das retas. Como é o ângulo entre a reta e a reta tangente à elipse, temos:
Pela equação da elipse, temos:
Passo 4
Agora fazemos os cálculos para , que é o ângulo entre a reta e a reta tangente à elipse:
Então concluímos que e portanto, .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)