Enunciado

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = 2 sen ⁡ θ ,   θ = π / 6

Passo 1

A inclinação da reta tangente à uma função é dada pelo valor de sua primeira derivada, mas para equações polares não basta derivar a função r em relação a θ , precisamos calcular o nosso amado y ' ( x ) , para isso basta que usemos a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Passo 2

Apesar de não ser só calcular d r d θ , vamos ter que calcular ele mesmo assim, hehe

r = 2 sen ⁡ θ

Temos uma constante multiplicando uma função de θ , basta derivar a função e manter a constante multiplicando

d r d θ = 2 cos ⁡ θ

Passo 3

Agora substituímos o nosso d r d θ na equação

d y d x = ( 2 cos ⁡ θ ) sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ ( 2 cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Vamos substituir também o r por 2 sen ⁡ θ

d y d x = ( 2 cos ⁡ θ ) sen ⁡ θ + ( 2 sen ⁡ θ ) cos ⁡ θ ( 2 cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ - ( 2 sen ⁡ θ ) s en ⁡ θ

Vamos multiplicar tudo que der

d y d x = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 cos 2 ⁡ θ - 2 sen 2 ⁡ θ

Somando o numerador e colocando o 2 em evidência no denominador:

d y d x = 4 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 ( cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ )

Simplificando

d y d x = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Podemos usar algumas relações trigonométricas para simplificar ao máximo. Usando sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ no numerador e cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ no denominador

d y d x = sen ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ = tg ⁡ 2 θ

Agora é só substituir o θ = π / 6

d y d x = tg ⁡ 2 ⋅ π 6 = tg ⁡ π 3 = 3

Resposta

d y d x = 3

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