Enunciado

Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. Então, plote a curva e a(s) tangente(s).

x = 2   s e n   2 t ,               y = 2   s e n   t ,             3 ,   1

Passo 1

O exercício quer que você encontre a equação da reta tangente à curva parametrizada dada. Para isso, precisamos achar o valor de t no ponto dado:

2   s e n   2 t = 3 2   s e n   t = 1 ⇒ s e n   2 t = 3 2 s e n   t = 1 2

Sabemos que

s e n   2 t = 2   s e n   t cos ⁡ t

Assim,

2 ⋅ 1 2 ⋅ cos ⁡ t = 3 2 ⇒ cos ⁡ t = 3 2

Portanto, queremos t tal que

cos ⁡ t = 3 2           e           s e n   t = 1 2

Como só a primeira volta no circula trigonométrico é necessária, temos que

t = π 6

Passo 2

Para achar a inclinação, temos que derivar a curva:

d y d x = d y d t d x d t = 2 cos ⁡ t 4 cos ⁡ 2 t

Substituindo t = π / 6 , achamos o coeficiente angular da reta tangente:

m = 2 cos ⁡ π / 6 4 cos ⁡ π / 3 = 2 ⋅ 3 2 4 ⋅ 1 2 = 3 2

Passo 3

Sabemos que a equação da reta tangente é

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Assim,

y - 1 = 3 2   ( x - 3 )

Logo,

2 y - 2 = 3 x - 3

Portanto,

3 x - 2 y - 1 = 0

Resposta

3 x - 2 y - 1 = 0

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