Enunciado

Encontre equações paramétricas e um intervalo de parâmetro para o movimento de uma partícula que parte em (a, 0) e traça o círculo x 2 + y 2 = a 2 :

a. uma vez em sentido horário.

b. uma vez em sentido anti-horário.

c. duas vezes em sentido horário.

d. duas vezes em sentido anti-horário.

(Pode haver muitas formas de resolver este exercício, de forma que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - As equações paramétricas mais comuns para um círculo com equação x 2 + y 2 = a 2 no ponto ( a , 0 ) são respectivamente, x = a cos ⁡ t e y = a sen ⁡ t e leva 2 π radianos para dar uma volta no círculo, é por isso que 0 ≤ t ≤ 2 π . No entanto, ele traça o círculo no sentido anti-horário, em vez de no sentido horário (isso explica a resposta da parte b).

B - No início da tarefa, notamos que a equação dada é a equação do círculo com o centro na origem e o raio r = a . Na forma paramétrica, escrevemos a equação de um círculo com centro na origem e raio r = a como

x = a cos ⁡ t

y = a sen ⁡ t

Onde t é o parâmetro que representa o ângulo, ou seja, de acordo com a identidade trigonométrica pitagórica a relação entre seno e cosseno é dada pela seguinte expressão de um círculo com centro na origem e raio

sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Pelas condições da tarefa, sabemos que a partícula parte do ponto (a,0) e se move em um círculo no sentido horário. Como a partícula percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário, ela retorna à posição inicial (a,0), e o ângulo t é um ângulo completo. A medida de um ângulo completo é 360 ° ou 2 π radianos e se move em um círculo no sentido horário. Além disso, quando a partícula se move no sentido anti-horário, as coordenadas x e y primeiro têm um sinal positivo. E para ângulos dentro de [ 0,2 π ] seno e cosseno são positivos.

Portanto, concluímos que a parametrização do círculo quando a partícula se move ao longo dele uma vez no sentido anti-horário é:

x = a cos ⁡ t

y = a sen ⁡ t ,     t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 2

C - Se quisermos que ele trace o círculo no sentido horário, precisamos mudar y = a sen ⁡ t para o sinal oposto y = - a sen ⁡ t . (isso explica as respostas nas partes a e c).

D - No início da tarefa, notamos que a equação dada é a equação do círculo com o centro na origem e o raio r = a . Na forma paramétrica, escrevemos a equação de um círculo com centro na origem e raio r = a como

x = a cos ⁡ t

y = a sen ⁡ t

Onde t é o parâmetro que representa o ângulo, ou seja, de acordo com a identidade trigonométrica pitagórica a relação entre seno e cosseno é dada pela seguinte expressão de um círculo com centro na origem e raio

sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Pelas condições da tarefa, sabemos que a partícula parte do ponto (a,0) e se move em um círculo no sentido horário. Como a partícula percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário, ela retorna à posição inicial (a,0), e o ângulo t é um ângulo completo. A medida de um ângulo completo é 360 ° ou 2 π radianos e se move em um círculo no sentido horário. Além disso, quando a partícula se move no sentido anti-horário, as coordenadas x e y primeiro têm um sinal positivo. E para ângulos dentro de [ 0 , 4 π ] seno e cosseno são positivos.

Portanto, concluímos que a parametrização do círculo quando a partícula se move ao longo dele uma vez no sentido anti-horário é:

x = a cos ⁡ t

y = a sen ⁡ t ,     t ∈ [ 0 , 4 π ]

Resposta

Respondido acima!

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Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado. x = sen ⁡ t y = cos 2 ⁡ t - 2 π ≤ t ≤ 2 π
Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado. x = cos ⁡ π t y = sen ⁡ π t 1 ≤ t ≤ 2
Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado. x = 5 sen ⁡ t y = 2 cos ⁡ t - π ≤ t ≤ 5 π
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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3