Enunciado

Os Exercícios 1-18 fornecem equações paramétricas e intervalos de parâmetro para o movimento de uma partícula no plano x y . Identifique a trajetória da partícula encontrando a equação cartesiana para ela. Desenhe o gráfico de cartesiana (os gráficos irão variar conforme a equação utilizada). Indique a parte do gráfico percorrida pela partícula e a direção do movimento.

12. x = t t - 1 ,   y = t - 2 t + 1 ,   - 1 < t < 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, nosso objetivo é escrever y como uma função que depende de x , ou seja, temos que eliminar o parâmetro t . Para poder escrever y como uma função que depende de x , vamos expressar o parâmetro t da variável x .

x 1 - t = t → x - x t = t

Desenvolvendo um pouco mais os termos

- x = t - x t → - x = t 1 - x

Isolando o t

t = - x 1 - x → t = x x - 1

Se nós colocarmos o valor de t na expressão de y , obtemos que

y = x x - 1 - 2 x x - 1 + 1 = x - 2 ( x - 1 ) x - 1 x + ( x - 1 ) x - 1 = x - 2 x + 2 x + x - 1 = - x + 2 2 x - 1

Com isso, já podemos desenhar a curva!

Passo 2

Se plotarmos os pontos no sistema de coordenadas, obtemos a seguinte função racional:

Pelas condições do problema, sabemos que t pode assumir valores dentro do intervalo ( - 1,1 ) . Podemos escrever a variável x em função do parâmetro t como:

x = t - 1 + 1 t - 1 = t - 1 t - 1 + 1 t - 1 = 1 + 1 t - 1

Como t ∈ ( - 1,1 ) , então a desigualdade se torna

- 2 < t - 1 < 0 → - 1 2 < 1 t - 1

Obtemos que a variável x pode assumir valores dentro do intervalo:

- 1 2 + 1 > 1 t - 1 + 1 → 1 2 > x

Passo 3

Concluímos que desenhamos o gráfico da função racional no intervalo x ∈ - ∞ , 1 2 . Na primeira figura, vamos marcar a parte da função que satisfaz a condição de que x é menor que 1 / 2 . Se desenharmos esses pontos na função racional, obtemos a direção do movimento da partícula:

Resposta

y = - x + 2 2 x - 1 ,     x < 1 2

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