Enunciado

Encontre equações paramétricas para o semicírculo

x 2 + y 2 = a 2 ,     y > 0

utilizando como parâmetro o coeficiente angular t = d y d x da tangente da curva em ( x , y ) .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início, notamos que a equação dada é a equação do círculo com o raio r = a . O parâmetro t é dado como a derivada da variável y em relação à variável x. Para que o parâmetro t apareça na equação do círculo, vamos diferenciar a equação do círculo em relação à variável x. Como a variável y depende da variável x , então diferenciamos y 2 usando a regra da cadeia (primeiro, diferenciamos a expressão quadrática e depois seu argumento em relação à variável x ).

d d x x 2 + d d x y 2 x = d d x a 2

Desenvolvendo os termos

2 x + 2 y 2 - 1 d d x y = 0

Com isso, nós temos que

2 x + 2 y ∙ d y d x = 0     ( 1 )

Pelas condições do problema, sabemos que d y d x representa o parâmetro t. Incluindo o parâmetro t na equação (1), obtemos:

2 x + 2 y t = 0

Com isso, temos o seguinte resultado

2 x = - 2 y t → x = - y t     ( 2 )

Ao escrever a equação cartesiana em uma equação paramétrica, a variável x não deve depender da variável y (e vice-versa). Portanto, precisamos eliminar uma das variáveis ​​da equação anterior.

Como fazer para que a variável y dependa apenas do parâmetro t? Como eliminar a variável x? É isso que devemos responder nos próximos tópicos 😊.

Passo 2

Se incluirmos - y t em vez de x na equação do círculo, obtemos:

- y t 2 + y 2 = a 2 → y 2 t 2 + y 2 = a 2

Colocando y 2 em evidência,

y 2 t 2 + 1 = a 2

Com isso,

y 2 = a 2 t 2 + 1

E portanto,

y = ± a 2 t 2 + 1

A constante a representa o raio, portanto a > 0 . Além disso, sabemos pelas condições da tarefa que y é um número positivo, portanto, da equação anterior, consideramos o caso com um sinal positivo (porque a raiz é sempre não negativa).

y = a t 2 + 1     ( 3 )

Passo 3

Se incluirmos a variável y (expressão (3)) na expressão (2), obtemos a variável x dependendo do parâmetro t:

x = - y t

Expandindo o termo de x

x = - a t 2 + 1 ∙ t = a t t 2 + 1

As variáveis ​​ x e y contêm a expressão t 2 + 1 ​​em seu denominador. Como t 2 + 1 ​​é sempre estritamente maior que 0 , não há condição no denominador e na expressão sob uma raiz par. Portanto, o parâmetro t pode assumir qualquer número real.

A equação do círculo na notação paramétrica é dada por:

x = - a t t 2 + 1 y = a t 2 + 1 ,     t ∈ R

Resposta

x = - a t t 2 + 1 y = a t 2 + 1 ,     t ∈ R

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