Enunciado

Encontre equações polares para os círculos nos Exercícios 57-64. Esboce cada círculo no plano coordenado e classifique-o com suas equações cartesianas e polares.

x 2 + y 2 - 4 3 y = 0

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo usar as relações a seguir para transformar os círculos de coordenadas cartesianas para coordenadas polares.

r 2 = x 2 + y 2 ,   x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Em seguida, iremos esboçar o gráfico. E fim de papo.

Simbora?

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação da seguinte forma:

x 2 + y 2 - 4 3 y = 0

x 2 + y 2 = 4 3 y

Usando as relações dadas no passo 1, obtemos:

r 2 = 4 3 r s en ⁡ θ

Dividindo ambos os lados por r, conseguimos nossa equação polar da circunferência:

r = 4 3 s en ⁡ θ

Passo 3

Pela equação inicial e sabendo a equação geral de uma circunferência é dada por:

x - x c 2 + y - y c 2 = r 2

A equação pode ser escrita como:

x 2 + y - 2 3 2 = 4 9

Temos que seu raio é r = 2 3 e o centro tem coordenadas ( 0 , 2 3 ) .

E o seu gráfico terá o seguinte formato:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

r = 4 3 sen ⁡ θ .

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 9 a 12, ache a área da região limitada por um laço do gráfico da equação dada.10. r = a ( 1 - 2 c o s θ )
Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada. r = 4 c o s 3 θ
Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada. 4 .r = 4 s e n 2 1 2 θ
7. Ache a área do gráfico da região limitada pelo gráfico de equação r = θ de θ = 0 até θ = 3 π 2 .
Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada. 5 . r 2 = 4 s e n 2 θ