Encontre

d d x ∫ 3 x x 2 t - 1 t 2 + 1 d t

Escrevendo

∫ 3 x x 2 t - 1 t 2 + 1 d t = ∫ 3 x 0 t - 1 t 2 + 1 d t + ∫ 0 x 2 t - 1 t 2 + 1 d t

Passo 1

Bom, se temos que derivar uma soma de integrais:

d d x ∫ 3 x 0 t - 1 t 2 + 1 d t + ∫ 0 x 2 t - 1 t 2 + 1 d t

A derivada da soma é a soma das derivadas, então, temos que resolver:

d d x ∫ 3 x 0 t - 1 t 2 + 1 d t + d d x ∫ 0 x 2 t - 1 t 2 + 1 d t

Passo 2

Show! Já vimos que:

d d y ∫ g x a f t d t = - f g x g ' x

Então, resolvendo a primeira derivada:

d d x ∫ 3 x 0 t - 1 t 2 + 1 d t = - 3 x - 1 9 x 2 + 1 3 x ' = - 9 x - 3 9 x 2 + 1

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, na segunda derivada:

d d x ∫ 0 x 2 t - 1 t 2 + 1 d t = x 2 - 1 x 4 + 1 x 2 ' = 2 x 3 - 2 x x 4 + 1

Passo 4

Voltando à soma inicial:

d d x ∫ 3 x 0 t - 1 t 2 + 1 d t + ∫ 0 x 2 t - 1 t 2 + 1 d t = - 9 x - 3 9 x 2 + 1 + 2 x 3 - 2 x x 4 + 1

Prontinho, essa é a nossa resposta!

Resposta

- 9 x - 3 9 x 2 + 1 + 2 x 3 - 2 x x 4 + 1

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