Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 12
(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.
12.
Passo 1
(a) Podemos ver que a equação geral dessa cônica é do tipo:
Mas temos um problema, para encontrarmos a excentricidade, precisamos deixar o denominador da equação dada com a mesma cara do denominador da equação acima, ou seja, é necessário que haja aquele 1, para isso, precisamos tirar fator comum da equação do enunciado:
E então colocamos o 2 para cima:
Pronto, agora comparamos os termos que estão multiplicando o cosseno na equação acima e na equação geral, podemos ver que a excentricidade será:
Passo 2
(b) Pela excentricidade podemos determinar o tipo de cônica, como , a cônica é uma hipérbole.
Passo 3
(c) Para encontrarmos e a equação da diretriz, vamos comparar o numerador da equação dada com a equação geral, percebemos que:
Mas a gente sabe o valor da excentricidade, então:
Como a equação da hipérbole possui o termo no denominador, sabemos que a diretriz é uma reta vertical e estará à esquerda do foco, portanto, será constante em x, e a equação será:
Colocamos o sinal negativo pois o foco está na origem.
Passo 4
(d) O gráfico da cônica é: