Enunciado

(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.

12. r = 5 2 - 4 c o s θ

Passo 1

(a) Podemos ver que a equação geral dessa cônica é do tipo:

r = e d 1 - e c o s θ

Mas temos um problema, para encontrarmos a excentricidade, precisamos deixar o denominador da equação dada com a mesma cara do denominador da equação acima, ou seja, é necessário que haja aquele 1, para isso, precisamos tirar fator comum da equação do enunciado:

r = 5 2 ( 1 - 2 c o s θ )

E então colocamos o 2 para cima:

r = 5 / 2 1 - 2 c o s θ

Pronto, agora comparamos os termos que estão multiplicando o cosseno na equação acima e na equação geral, podemos ver que a excentricidade será:

e = 2

Passo 2

(b) Pela excentricidade podemos determinar o tipo de cônica, como e = 2 > 1 , a cônica é uma hipérbole.

Passo 3

(c) Para encontrarmos d e a equação da diretriz, vamos comparar o numerador da equação dada com a equação geral, percebemos que: e d = 5 2

Mas a gente sabe o valor da excentricidade, então:

2 d = 5 2

d = 5 4

Como a equação da hipérbole possui o termo - e c o s θ no denominador, sabemos que a diretriz é uma reta vertical e estará à esquerda do foco, portanto, será constante em x, e a equação será:

x = - 5 4

Colocamos o sinal negativo pois o foco está na origem.

Passo 4

(d) O gráfico da cônica é:

Resposta

a   e = 2

b   h i p é r b o l e

c   x = - 5 4

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