Enunciado

(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.

10. r = 1 2 + s e n θ

Passo 1

(a) Bom, o enunciado nos dá a equação da cônica, para encontrarmos a excentricidade precisamos olhar para o termo que multiplica o seno no denominador, mas precisamos tomar cuidado, porque a equação geral tem a seguinte forma:

r = e d 1 + e s e n θ

Como na equação dada temos o 2 somando, invés de 1, precisamos ajeitar a equação colocando o 2 em evidência:

r = 1 2 1 + 1 2 s e n θ

E então colocamos para cima para facilitar a visualização:

r = 1 / 2 1 + 1 2 s e n θ

Pronto, a excentricidade então será:

e = 1 / 2

Passo 2

(b) Podemos identificar a cônica pela excentricidade, como e = 1 2 < 1 , ela será uma elipse.

Passo 3

(c) Primeiro precisamos encontrar o valor de d , para isso, basta compararmos a equação da nossa elipse no passo 1 com a equação geral, o numerador então terá o seguinte valor:

e d = 1 / 2

Mas sabemos que e = 1 / 2 , então d só pode ser:

d = 1

E como no denominador da equação temos o termo + e s e n θ , a diretriz será uma reta horizontal, ou seja, o valor de y será constante:

y = 1

Passo 4

(d) E o gráfico da cônica será:

Resposta

a   e = 1 / 2

b   e l i p s e

c   y = 1

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