Enunciado

No exercício 14.1.39 e no exemplo 14.3.3, o índice de massa corporal de uma pessoa foi definido como B m ,   h = m h 2 , onde m é a massa em quilogramas e h é a altura em metros.

a) Qual é a aproximação linear de B ( m ,   h ) para uma criança com massa 23   k g e altura 1,10   m ?

b) Se a massa da criança aumentar em 1   k g e a altura em 3   c m , use a aproximação linear para estimar o novo IMC. Compare com o novo IMC atual.

Passo 1

a) Para calcularmos a aproximação linear da função B , temos que utilizar a seguinte expressão:

B m ,   h ≈ B a ,   b + B m a ,   b m - a + B h ( a ,   b ) ( h - b )

No qual B m a ,   b e B h ( a ,   b ) são as derivadas de B no ponto dado em relação à m e h , respectivamente. Ademais, temos que a = 23   k g e b = 1,10   m . Calculando as derivadas, teremos:

B m ,   h = m h 2

B m = 1 h 2 ⇒ B m 23 ,   1,10 = 1 ( 1,10 ) ² = 0,826

B h = - 2 m h 3 ⇒ B h 23 ,   1,10 = - 2.23 1,10 3 = - 34,560

Passo 2

Tudo bem, agora que encontramos as derivadas no ponto dado, vamos substituir os resultados na expressão supracitada, se liga:

B m ,   h = 23 1,10 2 + 0,826 . m - 23 - 34,560 . ( h - 1,10 )

B m ,   h = 19,008 + 0,826 m - 18,998 - 34,560 h + 38,016

∴ B m ,   h = 38,026 + 0,826 m - 34,560 h

E portanto essa é a aproximação linear que buscávamos!

Passo 3

b) Utilizando a aproximação linear que encontramos no passo anterior para determinar o novo IMC:

B 24 ,   1,13 = 38,026 + 0,826 . 24 - 34,560 . 1,13

B 24 ,   1,13 ≈ 18,7972

Agora utilizando a expressão real para o cálculo de IMC que é:

B m ,   h = m h 2

B 24 ,   1,13 = 24 1,13 2 ≈ 18,7955

Podemos notar que são dois resultados extremamente aceitáveis. O erro nos cálculos é absolutamente baixo, então isso não influencia no cálculo do IMC que fizemos pela aproximação linear.

Resposta

a) B m ,   h = 38,026 + 0,826 m - 34,560 h

b )   B 24 ,   1,13 ≈ 18,7972

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