Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 15
(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.
15.
Passo 1
A excentricidade é obtida pela comparação da equação dada com uma das equações gerais das cônicas:
Como a excentricidade multiplica a função cosseno, basta compararmos com a equação do enunciado. Mas devemos tomar cuidado que não podemos fazer isso diretamente, precisamos antes organizar a equação para que fique na mesma força que a equação acima. Para isso, vamos tirar fator comum no denominador:
E colocamos o 4 para cima, pois isso vai nos ajudar a achar a equação da diretriz na letra (c):
Agora sim podemos comparar, a excentricidade será:
Passo 2
(b) Como a excentricidade é maior que 1, essa cônica será uma hipérbole.
Passo 3
Agora que temos a excentricidade, podemos comparar os denominadores da equação que obtemos no Passo 1 e da equação geral:
será:
Com ele, podemos encontrar a equação da diretriz. Precisamos antes determinar onde ela se encontra em relação à hipérbole, já que a equação da hipérbole possui um termo no denominador, a reta será vertical e estará à esquerda da origem (do foco), então x será negativo, usando a equação da diretriz será:
Passo 4
E o gráfico dessa hipérbole é: