Enunciado

(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.

15. r = 3 4 - 8 c o s θ

Passo 1

A excentricidade é obtida pela comparação da equação dada com uma das equações gerais das cônicas:

r = e d 1 - e c o s θ

Como a excentricidade multiplica a função cosseno, basta compararmos com a equação do enunciado. Mas devemos tomar cuidado que não podemos fazer isso diretamente, precisamos antes organizar a equação para que fique na mesma força que a equação acima. Para isso, vamos tirar fator comum no denominador:

r = 3 4 ( 1 - 2 c o s θ )

E colocamos o 4 para cima, pois isso vai nos ajudar a achar a equação da diretriz na letra (c):

r = 3 / 4 1 - 2 c o s θ

Agora sim podemos comparar, a excentricidade será:

e = 2

Passo 2

(b) Como a excentricidade é maior que 1, essa cônica será uma hipérbole.

Passo 3

Agora que temos a excentricidade, podemos comparar os denominadores da equação que obtemos no Passo 1 e da equação geral:

e d = 3 / 4

d será:

d = 3 4 ( 2 ) = 3 8

Com ele, podemos encontrar a equação da diretriz. Precisamos antes determinar onde ela se encontra em relação à hipérbole, já que a equação da hipérbole possui um termo - e c o s θ no denominador, a reta será vertical e estará à esquerda da origem (do foco), então x será negativo, usando d a equação da diretriz será:

x = - 3 / 8

Passo 4

E o gráfico dessa hipérbole é:

Resposta

a   e = 2

b   H i p é r b o l e

c   x = - 3 8

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