Enunciado

(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.

11. r = 2 3 + 3 s e n θ

Passo 1

(a) Podemos encontrar a excentricidade comparando a equação dada com uma das equações gerais das cônicas:

r = e d 1 + e s e n θ

Basta olharmos para o termo que está multiplicando a função seno, o problema é que precisamos antes deixar a equação na mesma forma da equação acima, pois como podemos ver, somamos 1 ao termo e s e n θ enquanto na equação dada está sendo somado 3. Vamos reorganizá-la:

  r = 2 3 ( 1 + s e n θ )

E então colocamos o 3 para cima, para facilitar nossas contas mais tarde:

  r = 2 / 3 1 + s e n θ

Pronto, essa é a maneira mais próxima da equação geral que escrevemos antes.

A excentricidade então será:

e = 1

Passo 2

(b) Para identificarmos a cônica, basta olharmos para a excentricidade, como ela é igual a 1, a cônica será uma parábola.

Passo 3

(c) Comparando mais uma vez a equação geral com a equação dada, podemos ver a relação entre os numeradores:

e d = 2 / 3

Como sabemos que a excentricidade é 1, então: d = 2 / 3

Para sabermos se a diretriz é uma reta horizontal e vertical, precisamos olhar para o denominador da equação dada, como ele tem o termo + e s e n θ a nossa reta será horizontal, e portanto:

y = 2 / 3

Passo 4

(d) O gráfico dessa parábola é:

Resposta

a   e = 1

b   P a r á b o l a

c   y = 2 3

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(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.10. r = 1 2 + s e n θ
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(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.13. r = 9 6 + 2 c o s θ