Enunciado

Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada.

Passo 1

Fala aí, pessoal!

Aqui a gente tem um gráfico de uma função e precisa achar a expressão pra essa função.

Primeiramente devemos observar que o intervalo de análise para nós em x vai ser o seguinte:

- 2 ≤ x ≤ 6

que é onde a função tá definida!

Além disso, devemos reparar que nossa função vai ser definida por intervalos, então na verdade é como se a gente tivesse que achar 3 funções, só que cada uma vai valer pra diferentes intervalos.

Já começando as análises, um dos intervalos ( - 2 < x ≤ 0 ) é constante e igual a 2 . Nos outros dois intervalos, temos retas com diferentes inclinações. Então antes de qualquer coisa, vamos lembras da equação da reta:

y = m x + b

onde b é o coeficiente linear e m é o coeficiente angular, dado por:

m = ∆ y ∆ x

Então vamos calcular essas retas na prática!

Passo 2

No intervalo 0 < x ≤ 1 , temos os seguintes dois pontos pertencentes a essa reta:

0   ,   2

1   ,   0

Então o coeficiente angular vai ser:

m = 2 - 0 0 - 1 = - 2

E o coeficiente linear b é o ponto em que a reta cruza o eixo y , então:

b = 2

E essa reta fica:

y = - 2 x + 2

Passo 3

No intervalo 1 < x ≤ 6 , temos os seguintes dois pontos pertencentes a essa reta:

1   ,   0

5   ,   4

Então o coeficiente angular vai ser:

m = 4 - 0 5 - 1 = 4 4 = 1

Aqui não conseguimos achar o coeficiente linear b apenas olhando no gráfico. Então vamos pegar a equação geral da reta e substituir o m que calculamos:

y = x + b

E agora substituir um ponto qualquer dessa reta. Eu escolhi o ponto ( 5   ,   4 ) :

5 = 4 + b

b = 1

E essa reta fica:

y = x + 1

Passo 4

Por fim, o trecho inicial da nossa função, no intervalo - 2 < x ≤ 0 , temos uma reta constante de valor 2, então neste trecho, a expressão é:

y = 2

Juntando essas 3 informações, temos a expressão final da função:

y = f x = 2   ,     s e - 2 < x ≤ 0 - 2 x + 2   ,     s e   0 < x ≤ 1 x - 1   ,   s e   1 < x ≤ 6

Resposta

y = f x = 2   ,     s e - 2 < x ≤ 0 - 2 x + 2   ,     s e   0 < x ≤ 1 x - 1   ,   s e   1 < x ≤ 6

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Expresse f como uma composição de duas funções; isto é, encontre g e h tais que f = g ∘ h. [Nota: Cada exercício tem mais de uma solução.](a) f x = x + 2 (b) f x = x 2 - 3 x + 5
Expresse f como uma composição de duas funções; isto é, encontre g e h tais que f = g ∘ h. [Nota: Cada exercício tem mais de uma solução.](a) f x = sen 2 ⁡ x (b) f x = 3 5 + cos ⁡ x