Enunciado

Encontre as funções f g x ,   g f x , f f x   e   g ( g x ) e seus domínios

f x = x + 1 x ,     g x = x + 1 x + 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos dá as seguintes funções:

f x = x + 1 x

E

g x = x + 1 x + 2

Desejamos encontrar as funções compostas indicadas abaixo:

f g x

  g f x

f f x

g ( g x )

Para isso, devemos lembrar que uma função composta nada mais é do que uma função “dentro” da outra.

Dessa forma, vamos substituir no lugar de x da função mais externa o valor da função que está mais interna!!

Também queremos determinar o domínio da função... mas o que é isso???

Bom... O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (ou argumentos) para os quais a função está definida.

Assim, devemos analisar se haverá alguma restrição que irá impossibilitar a função de ter um número real!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Assim, vamos calcular f g x   utilizando o método descrito no passo 1.

Aplicando g x , temos:

f g x = f x + 1 x + 2

Agora, implementando a f x , temos:

f g x = x + 1 x + 2 + 1 x + 1 x + 2 ∴

f g x = x + 1 x + 2 + x + 2 x + 1

Perceba que se x = - 1 ou x = - 2 , haverá uma indeterminação na função (divisão por zero).

Assim, o domínio são todos os números reais diferentes de x = - 1 e x = - 2 , ou seja:

D = x ∈ R | x ≠ - 1   e   x ≠ - 2

Passo 3

O mesmo procedimento é utilizado para encontrarmos g f x .

Aplicando a função mais interna ( f ( x ) ):

g f x = g x + 1 x

Implementando com g ( x ) :

g f x = x + 1 x + 1 x + 1 x + 2 ∴

g f x = x 2 + x + 1 x 2 + 2 x + 1  

Para que essa função exista, o denominador não pode ser zero!!

A expressão x 2 + 2 x + 1 tem com raiz x = - 1 .

Assim, o domínio de g f x são todos os números reais com exceção de x = - 1 , ou seja:

D = x ∈ R | x ≠ - 1

Passo 4

Agora, fazendo para f f x , temos:

f f x = f x + 1 x ∴

f f x = x + 1 x + 1 x + 1 x ∴

f f x = x + 1 x + x x 2 + 1

Veja que a única restrição é que se x = 0 haverá uma indeterminação no termo 1 x .

Por outro lado, não haverá restrições no termo x x 2 + 1 pois o x está elevado ao quadrado no denominador (tornando qualquer número positivo e fazendo com que o denominador nunca seja zero).

Assim, o domínio são todos os reais com x ≠ 0 , ou seja:

D = x ∈ R | x ≠ 0

Passo 5

E, para g g x , temos:

g g x = g x + 1 x + 2 ∴

g g x = x + 1 x + 2 + 1 x + 1 x + 2 + 2 ∴

g g x = 2 x + 3 3 x + 5

Para que essa função exista, o denominador não pode ser zero, ou seja:

3 x + 5 ≠ 0 ∴

3 x ≠ - 5 ∴

x ≠ - 5 3

Logo, o domínio são todos os números reais com a exceção de x = - 5 3 , ou seja:

D = x ∈ R | x ≠ - 5 3

Resposta

f g x = x + 1 x + 2 + x + 2 x + 1

D = x ∈ R | x ≠ - 1   e   x ≠ - 2

g f x = x 2 + x + 1 x 2 + 2 x + 1

D = x ∈ R | x ≠ - 1

f f x = x + 1 x + 1 x + 1 x  

D = x ∈ R | x ≠ 0

g g x = 2 x + 3 3 x + 5

D = x ∈ R | x ≠ - 5 3

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