Enunciado

Encontre expressões para as funções quadráticas cujos gráficos são mostrados abaixo.

Passo 1

E aí, tudo tranquilo?

Pronto pra resolver mais uma questão?

Não precisa ficar desesperado, estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui a gente vai, a partir da análise do gráfico para encontrar qual é a função mostrada. A gente tem ali funções do segundo grau.

Essas funções são da forma:

y = a x 2 + b x + c

As constantes a , b , c desempenham um papel importante no gráfico.

A constante c é o ponto onde o gráfico toca o eixo y . Então:

f 0 = c

A constante a nos diz a direção da parábola, se tivermos a > 0 a nossa parábola terá a direção do eixo positivo de y , mas caso tivermos a < 0 nossa parábola terá a direção do eixo negativo de y .

Outro ponto interessante para a gente é o vértice de uma função do segundo grau, ele pode ser encontrado:

x v = - b 2 a

E

y v = f ( x v )

E é o ponto onde a função atinge o valor máximo ou mínimo, dependendo da concavidade da parábola descrita pela função.

Com ajuda dessas informações, e com alguns pontos indicados no gráfico, poderemos criar um sistema de equações e assim conseguirmos encontrar cada uma das constantes.

Veja só! 👀

Passo 2

A gente vai começar trabalhando com esse cara aqui:

O que a gente pode verificar de cara é que temos a parábola tocando em só um ponto no eixo x .

Isso quer dizer que as duas raízes da nossa função de segundo grau são iguais e iguais à 3 .

Como a função de segundo grau é um polinômio, todo polinômio pode ser escrito da seguinte forma:

y = a ∙ x - r 1 x - r 2 x - r 3 … ( x - r n )

Sendo que a aqui é o termo que controla a quão ‘aberta’ e ‘fechada’ será nossa parábola, pois existem uma família infinita de funções do segundo grau com raízes iguais a 3 , apenas mudando o valor de a , o que queremos saber é qual dessas infinitas é a nossa.

Onde os r i representam as raízes desse polinômio, fechou? A gente pode, então, escrever a nossa função do segundo grau assim:

y = a ∙   x - 3 x - 3

y = a ∙ x - 3 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora, temos que encontrar o valor de a para termos a nossa função do segundo grau escrita completamente.

A gente pode fazer isso usando a equação que a gente tem e mais o ponto ( 4 ,   2 ) que é dado! Sabemos que esse ponto pertence a parábola, sendo assim iremos substituir.

saca só:

y = a ∙   x - 3 2

y = 2 ; x = 4

2 = a ∙   4 - 3 2

2 = a ∙   1 2

a = 2

A gente pode, então, escrever a nossa equação:

y = 2 ∙ x - 3 2

E expandir ela para ficar na forma do segundo grau:

y = 2 ∙ x 2 - 2   .   x   .   3 + 3 2

y = 2 ∙   ( x 2 - 6 x + 9 )

y = 2 x 2 - 12 x + 18

Bacana, não é? 😬

Passo 4

Agora, nós vamos lidar com esse cara aqui:

Podemos sempre definir um polinômio com grau n a partir de n + 1 pontos, ou seja: como temos uma função do segundo grau ( n = 2 ), podemos achar sua expressão através dos 3 pontos que nos deram.

Beleza até aqui?

Temos os pontos P 1 = ( - 2 ,   2 ) , P 2 = ( 0 ,   1 ) e P 3 = ( 1 ,   - 2,5 ) .

Agora, vamos jogar cada ponto na expressão genérica de uma função do segundo grau y = a x 2 + b x + c .

Para P 1 :

x = - 2 ; y = 2

2 = a - 2 2 + b - 2 + c

4 a - 2 b + c = 2

Para P 2 :

x = 0 ; y = 1

1 = a 0 2 + b 0 + c

c = 1

Para P 3 :

x = 1 ; - 2.5

- 2,5 = a 1 2 + b 1 + c

a + b + c = - 2,5

Bora continuar! 😁

Passo 5

Agora, vamos organizar as três equações que encontramos:

4 a - 2 b + c = 2 c = 1 a + b + c = - 2,5

Temos que resolver esse sistema de três equações, e aí vamos ter os valores de a ,   b e c . Uma das equações já é o próprio valor de c ! A gente pode substituir nas nossas outras duas equações já, saca só:

4 a - 2 b + 1 = 2 a + b + 1 = - 2,5

4 a - 2 b = 1 a + b = - 3,5

Temos então que:

a = - 3,5 - b

E iremos substituir:

4 - 3,5 - b - 2 b = 1

- 14 - 4 b - 2 b = 1

- 6 b = - 15

b = - 2,5

Substituindo isso em:

a = - 3,5 - b

a = - 3,5 - - 2,5

a = - 1

Estamos quase lá! 👀

Pronto! Agora temos os valores de a ,   b e c . Substituindo na fórmula da função do segundo grau, vamos ter que:

y = - x 2 - 2,5 x + 1

E fim! O que achou? Responde AÍ! 😊

Resposta

As funções que expressam os gráficos são y = 2 x 2 - 12 x + 18 (para o gráfico da esquerda) e y = - x 2 - 2,5 x + 1 (para o gráfico da direita).

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Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) . h ) f x = x 2 + 2 x - 6
Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) . b ) f x = x 2 - 5 x + 6
Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) . e ) f x = - x 2 - 2 x - 1
Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) . c ) f x = x 2 + x + 1
Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) . g ) f x = - x 2 + 9