Enunciado

Encontre os extremos relativos no intervalo 0 < x < 2 π e confirme se seus resultados estão de acordo com o gráfico gerado por um recurso computacional.

f x = sen ⁡ 2 x

Passo 1

Para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:

Para sen ⁡ 2 x > 0 temos:

f x = sen ⁡ 2 x

f ' x = cos ⁡ 2 x ⋅ 2 = 2 cos ⁡ 2 x

Para sen ⁡ 2 x < 0 temos:

f x = - sen ⁡ 2 x

f ' x = - cos ⁡ 2 x ⋅ 2 = - 2 cos ⁡ 2 x

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto onde podemos:

2 cos ⁡ 2 x = 0 → cos ⁡ 2 x = 0

- 2 cos ⁡ 2 x = 0 → cos ⁡ 2 x = 0

Temos que f ' x não existe em:

x = π 2

x = π

x = 3 π 2

E temos pontos críticos em que cos ⁡ 2 x = 0 em:

x = π 4

x = 3 π 4

x = 5 π 4

x = 7 π 4

Passo 2

Agora vamos usar o teste da segunda derivada, vamos agora calcular f ' ' x :

Para sen ⁡ 2 x ≥ 0 :

f ' ' x = 2 - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 = - 4 sen ⁡ 2 x

Para sen ⁡ 2 x < 0 :

f ' ' x = - 2 - sen ⁡ 2 x ⋅ 2 = 4 sen ⁡ 2 x

Vamos usar o Teste da Derivada Segunda:

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 > 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 < 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 = 0 , então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo em x 0 ou nenhum dos dois.

Vamos então achar os valores das segundas derivadas nos pontos críticos, e analisar os sinais:

Para sen ⁡ 2 x ≥ 0 :

f ' ' π 2 = - 4 sen ⁡ 2 ⋅ π 2 = 0

f ' ' π = - 4 sen ⁡ 2 ⋅ π = 0

f ' ' 3 π 2 = - 4 sen ⁡ 2 ⋅ 3 π 2 = 0

f ' ' π 4 = - 4 sen ⁡ 2 ⋅ π 4 = - 4 ⋅ 1 = - 4

f ' ' 5 π 4 = - 4 sen ⁡ 2 ⋅ 5 π 4 = - 4 ⋅ 1 = - 4

Para sen ⁡ 2 x < 0 :

f ' ' 3 π 4 = 4 sen ⁡ 2 ⋅ 3 π 4 = 4 ⋅ - 1 = - 4

f ' ' 7 π 4 = 4 sen ⁡ 2 ⋅ 7 π 4 = 4 ⋅ - 1 = - 4

Pelo Teste da Derivada Segunda temos que x = π 4 , x = 3 π 4 , x = 5 π 4 , x = 7 π 4 são pontos de máximo relativo.

Passo 3

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira para os que deram zero:

Se f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 e f ' x > 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

E se f ' x tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x 0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x 0 , então f não tem extremo relativo em x 0 .

Temos então que x = π 2 , x = π e x = 3 π 2 são mínimos relativos.

Resposta

x = π 4 , x = 3 π 4 , x = 5 π 4 , x = 7 π 4 são máximos relativos e x = π 2 , x = π e x = 3 π 2 são mínimos relativos

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