Enunciado

Suponha que f seja uma função para o qual f ' ' x existe para todos os valores de x num intervalo aberto I e que para um número c em I , f ' ' c = 0 e f ' ' ' c existe e não é zero. Prove que o ponto c , f c é um ponto de inflexão do gráfico.

Passo 1

Vamos relembrar o que é o ponto de inflexão. Ponto de inflexão é aquele que a segunda derivada muda de sinal nele. Ou seja, x = c é ponto de inflexão se:

x < c → f ' ' x < 0

x > c → f ' ' x > 0

Ou

x < c → f ' ' x > 0

x > c → f ' ' x < 0

Beleza, agora vamso analisar o que ele disse.

Passo 2

Primeiro, temos que lembrar a definição de terceira segunda. Que vai ser

f ' ' ' c = lim x → c ⁡ f ' ' x - f ' ' c x - c

Ele falou que essa derivada existe, mas não deu o sinal dela.

Então vamos analisar os dois casos. Quando ela for negativa e quando ela for positiva.

Primeiro, se ela for positiva:

lim x → c ⁡ f ' ' x - f ' ' c x - c > 0

Passo 3

Tem um teorema que diz que: Se o limite é positivo, então podemos existe um intervalo, que tem c , onde a expressão dentro do limite também é positiva.

Vamos pegar esse intervalo e chamar de I . Então, em I temos

f ' ' x - f ' ' c x - c > 0

Temos que mostrar que a derivada segunda muda de sinal em x = c

Vamos pegar a parte daquele intervalo I de valores menores que c . De forma matemática é falar isso aqui

x ∈ I ; x < c

Então vamos ter que

x < c → x - c < 0

Se multiplicamos a expressão do passo anterior por x - c , temos que mudar o sinal da desigualdade, assim vamos ter

f ' ' x - f ' ' c x - c x - c < 0 x - c

Podemos simplificar x - c , ficando com

f ' ' x - f ' ' c < 0

Então

f ' ' x < f ' ' c

Mas ele disse que f ' ' c = 0 , então:

f ' ' x < 0

Então:

x ∈ I ; x < c → f ' ' x < 0

Ufa, temos metade do caminho.

Passo 4

Agora pegar a parte daquele intervalo I de valores maiores que c . De forma matemática é falar isso aqui

x ∈ I ; x > c

Então vamos ter que

x > c → x - c : 0

Se multiplicamos a expressão do passo anterior por x - c , vamos ter:

f ' ' x - f ' ' c x - c x - c > 0 x - c

Podemos simplificar x - c , ficando com

f ' ' x - f ' ' c > 0

Então

f ' ' x > f ' ' c

Mas ele disse que f ' ' c = 0 , então:

f ' ' x > 0

Então:

x ∈ I ; x < c → f ' ' x < 0

Isso nos diz que x = c é ponto de inflexão.

Passo 5

agora, se ela for negativa:

lim x → c ⁡ f ' ' x - f ' ' c x - c < 0

Tem um teorema que diz que: Se o limite é negativo, então podemos existe um intervalo, que tem c , onde a expressão dentro do limite também é negativa.

Vamos pegar esse intervalo e chamar de I . Então, em I temos

f ' ' x - f ' ' c x - c < 0

Vamos pegar a parte daquele intervalo I de valores menores que c . De forma matemática é falar isso aqui

x ∈ I ; x < c

Então vamos ter que

x < c → x - c < 0

Se multiplicamos a expressão do passo anterior por x - c , temos que mudar o sinal da desigualdade, assim vamos ter

f ' ' x - f ' ' c x - c x - c > 0 x - c

Podemos simplificar x - c , ficando com

f ' ' x - f ' ' c > 0

Então

f ' ' x > f ' ' c

Mas ele disse que f ' ' c = 0 , então:

f ' ' x > 0

Então:

x ∈ I ; x < c → f ' ' x > 0

Ufa, temos metade do caminho.

Passo 6

Agora pegar a parte daquele intervalo I de valores maiores que c . De forma matemática é falar isso aqui

x ∈ I ; x > c

Então vamos ter que

x > c → x - c : 0

Se multiplicamos a expressão do passo anterior por x - c , vamos ter:

f ' ' x - f ' ' c x - c x - c < 0 x - c

Podemos simplificar x - c , ficando com

f ' ' x - f ' ' c < 0

Então

f ' ' x < f ' ' c

Mas ele disse que f ' ' c = 0 , então:

f ' ' x < 0

Então:

x ∈ I ; x < c → f ' ' x < 0

Isso nos diz que x = c é ponto de inflexão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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