Enunciado

Prove que:

Seja c um ponto crítico de uma função f , no qual f ' c = 0 e suponhamos que f ' exista para todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c . Se f ' ' c existe e

Se f ' ' c > 0 , então f tem valor mínimo relativo em c

Passo 1

Primeiro, temos que lembrar a definição de derivada segunda. Que vai ser

f ' ' c = lim x → c ⁡ f ' x - f ' c x - c

Ele disse que essa derivada é negativa, então temos:

lim x → c ⁡ f ' x - f ' c x - c > 0

Passo 2

Tem um teorema que diz que: Se o limite é positivo, então podemos existe um intervalo, que tem c , onde a expressão dentro do limite também é positiva.

Vamos pegar esse intervalo e chamar de I . Então, em I temos

f ' x - f ' c x - c > 0

Passo 3

Para mostrarmos que x = c é um valor de mínimo relativo, temos que mostrar que a derivada antes de c é negativa e que depois de c é positiva. Que é:

x < c → f ' x < 0

x > c → f ' x > 0

Vamos pegar a parte daquele intervalo I de valores menores que c . De forma matemática é falar isso aqui

x ∈ I ; x < c

Então vamos ter que

x < c → x - c < 0

Se multiplicamos a expressão do passo anterior por x - c , temos que mudar o sinal da desigualdade, assim vamos ter

f ' x - f ' c x - c x - c < 0 x - c

Podemos simplificar x - c , ficando com

f ' x - f ' c < 0

Então

f ' x < f ' c

Mas ele disse que c é ponto crítico com f ' c = 0 , então:

f ' x < 0

Então:

x ∈ I ; x < c → f ' x < 0

Ufa, temos metade do caminho.

Passo 4

Agora pegar a parte daquele intervalo I de valores maiores que c . De forma matemática é falar isso aqui

x ∈ I ; x > c

Então vamos ter que

x > c → x - c : 0

Se multiplicamos a expressão do passo anterior por x - c , vamos ter:

f ' x - f ' c x - c x - c > 0 x - c

Podemos simplificar x - c , ficando com

f ' x - f ' c > 0

Então

f ' x > f ' c

Mas ele disse que c é ponto crítico com f ' c = 0 , então:

f ' x > 0

Então:

x ∈ I ; x < c → f ' x < 0

Isso nos diz, pelo teste da primeira derivada, que x é um valor mínimo relativo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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