Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C x e - 2 x d x + x 4 + 2 x 2 y 2 d y

C é a fronteira da região entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Como C é uma curva fechada, pelo Teorema de Green temos

∫ C x e - 2 x d x + x 4 + 2 x 2 y 2 d y = ∬ D ∂ ∂ x x 4 + 2 x 2 y 2 - ∂ ∂ y x e - 2 x d A

= ∬ D 4 x 3 + 4 x y 2 d A = 4 ∬ D x ( x 2 + y 2 ) d A

Podemos resolver usando coordenadas polares, usando as variações

1 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

E temos

4 ∬ D x ( x 2 + y 2 ) d A = 4 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r cos ⁡ θ r 2   r   d r d θ

= 4 ∫ 1 2 r 4 d r ∫ 0 2 π cos ⁡ θ d θ = 4 r 5 5 1 2 sen ⁡ θ 0 2 π

= 4 32 - 1 5 0 = 0

Resposta

= 0

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