Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C sen ⁡ y d x + x cos ⁡ y d y

C é a elipse x 2 + x y + y 2 = 1

Passo 1

Como ele nos pede para usar o teorema de Green, vamos dar uma relembrada. Esse Teorema nos diz que se tivermos uma curva plana simples, fechada e continua delimitada pela região D . É valido o seguinte:

∫ p P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Repare que isso só é valido caso existam as derivadas de primeira ordem para Q e P .

Passo 2

Como C é uma elipse, sabemos que ela é uma curva plana simples, fechada e continua. Além disso vamos ver que existem as derivadas parciais de primeira ordem tanto para P como para Q . Assim, podemos usar o teorema de Green. Agora vamos achar as derivadas de primeira ordem:

∫ C sen ⁡ y d x + x cos ⁡ y d y

Logo,

P = s e n y e Q = x c o s y

Para ∂ Q ∂ x :

∂ Q ∂ x = 1 ⋅ cos ⁡ y

E para ∂ P ∂ y :

∂ P ∂ y = cos ⁡ y

Passo 3

Usando o Teorema de Green:

∫ C sen ⁡ y d x + x cos ⁡ y d y = ∬ D ∂ ∂ x x cos ⁡ y - ∂ ∂ y sen ⁡ y d A

Logo,

∫ C sen ⁡ y d x + x cos ⁡ y d y = ∬ D cos ⁡ y - cos ⁡ y d A

Agora é só correr pro abraço!

∫ C sen ⁡ y d x + x cos ⁡ y d y = 0

Resposta

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